Aria piramidei de la bază este un dreptunghi. Piramidă

Există o formulă generală? Nu, în general, nu. Trebuie doar să căutați zonele fețelor laterale și să le rezumați.

Formula poate fi scrisă pentru prismă dreaptă:

Unde este perimetrul bazei.

Dar este totuși mult mai ușor să adunăm toate zonele în fiecare caz specific decât să memorezi formule suplimentare. De exemplu, să calculăm suprafața totală a unei prisme hexagonale regulate.

Toate fețele laterale sunt dreptunghiuri. Mijloace.

Acest lucru a fost deja arătat la calcularea volumului.

Deci obținem:

Suprafața piramidei

Regula generală se aplică și piramidei:

Acum să calculăm suprafața celor mai populare piramide.

Suprafața unei piramide triunghiulare regulate

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală. Trebuie să găsim și.

Să ne amintim acum asta

Aceasta este aria unui triunghi regulat.

Și să ne amintim cum să căutăm această zonă. Folosim formula zonei:

Pentru noi, „ ” este aceasta, iar „ ” este și aceasta, eh.

Acum să-l găsim.

Folosind formula de bază a ariei și teorema lui Pitagora, găsim

Atenţie: dacă aveți un tetraedru obișnuit (adică), atunci formula se dovedește astfel:

Suprafața unei piramide patruunghiulare obișnuite

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală.

Baza este un pătrat și de aceea.

Rămâne să găsiți zona feței laterale

Suprafața unei piramide hexagonale regulate.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală.

Cum să găsești? Un hexagon este format din exact șase triunghiuri regulate identice. Am căutat deja aria unui triunghi regulat atunci când calculăm aria suprafeței unei piramide triunghiulare regulate; aici folosim formula pe care am găsit-o.

Ei bine, am căutat deja zona feței laterale de două ori.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Piramida triunghiulara este un poliedru a cărui bază este un triunghi regulat.

Într-o astfel de piramidă, marginile bazei și marginile laturilor sunt egale între ele. În consecință, aria fețelor laterale se găsește din suma ariilor a trei triunghiuri identice. Puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite folosind formula. Și puteți face calculul de câteva ori mai rapid. Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați formula pentru zona suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare:

unde p este perimetrul bazei, ale cărei toate laturile sunt egale cu b, a este apotema coborâtă de la vârf la această bază. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă obișnuită. Latura triunghiului de la bază este b = 4 cm. Apotema piramidei este a = 7 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Deoarece, în funcție de condițiile problemei, cunoaștem lungimile tuturor elementelor necesare, vom găsi perimetrul. Ne amintim că într-un triunghi obișnuit toate laturile sunt egale și, prin urmare, perimetrul este calculat cu formula:

Să înlocuim datele și să găsim valoarea:

Acum, cunoscând perimetrul, putem calcula aria suprafeței laterale:

Pentru a aplica formula pentru aria unei piramide triunghiulare pentru a calcula valoarea completă, trebuie să găsiți aria bazei poliedrului. Pentru a face acest lucru, utilizați formula:

Formula pentru aria bazei unei piramide triunghiulare poate fi diferită. Este posibil să utilizați orice calcul al parametrilor pentru o anumită cifră, dar cel mai adesea acest lucru nu este necesar. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Într-o piramidă obișnuită, latura triunghiului de la bază este a = 6 cm. Calculați aria bazei.
Pentru a calcula, avem nevoie doar de lungimea laturii triunghiului regulat situat la baza piramidei. Să înlocuim datele în formula:

Destul de des trebuie să găsiți aria totală a unui poliedru. Pentru a face acest lucru, va trebui să adăugați zona suprafeței laterale și a bazei.

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă triunghiulară regulată. Latura bazei este b = 4 cm, apotema este a = 6 cm. Aflați aria totală a piramidei.
Mai întâi, să găsim aria suprafeței laterale folosind formula deja cunoscută. Să calculăm perimetrul:

Înlocuiți datele în formula:
Acum să găsim aria bazei:
Cunoscând aria bazei și a suprafeței laterale, găsim aria totală a piramidei:

Când calculați aria unei piramide obișnuite, nu trebuie să uitați că baza este un triunghi regulat și multe elemente ale acestui poliedru sunt egale între ele.

Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar vin în diferite tipuri și forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

Piramida - figură geometrică, denotând și reprezentând mai multe fețe. În esență, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi sunt triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Cifra vine în două tipuri principale:

corect;
trunchiată.

În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.

În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune transversală formată paralel cu baza.

Termeni și simboluri

Termeni cheie:

Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri egale și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedre regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
Vertex– punctul cel mai înalt în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf până la baza piramidei.
Margine– unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
Secțiune- o figură plată formată în urma disecției. Nu trebuie confundat cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție este valabilă numai în raport cu un poliedru regulat. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apotema.

Formule de arie

Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va avea și diferențe.

În cazul unei figuri obișnuite, găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare în mod specific pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să scrieți totul pe mai multe pagini, ceea ce nu ar face decât să vă încurce și să vă încurce.

Formula de bază pentru calcul Suprafața laterală a unei piramide obișnuite va avea următoarea formă:

S=½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)

Să ne uităm la un exemplu. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm. Fie ca apotema să fie egală cu 5 cm. Mai întâi trebuie să găsiți perimetrul. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm. În continuare, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:

S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculăm: S = 1/2*5*8*3=60 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate Este puțin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. Să presupunem că pentru o figură patruunghiulară dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, iar apotema este de 4 cm.

Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuim valorile în formula principală și obținem: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.

Astfel, puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fii atent și să nu încurci aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, doar calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și adăugați-o la aria suprafeței laterale a poliedrului.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să consolidați informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide.

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

Când se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, despre cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la marginile de bază și laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația cu fețele laterale este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.

Cum să găsiți aria bazei piramidei?

Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o figură obișnuită sau una neregulată. În sarcinile Unified State Exam care îi interesează pe școlari, există doar sarcini cu cifre corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

Triunghi regulat

Adică echilateral. Acela în care toate părțile sunt egale și sunt desemnate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Pătrat

Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:

N-gon regulat arbitrar

Latura unui poligon are aceeași notație. Pentru numărul de unghiuri se folosește litera latină n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Ce să faci când calculezi suprafața laterală și totală?

Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, veți avea nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:

S = ½ P*A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi, trebuie să utilizați următoarea formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n/2 * în 2 sin α .

Sarcina nr. 1

Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza ei are o latură de 4 cm și apotema are o valoare de √3 cm.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P = 3*4 = 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, putem calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pentru triunghiul de la bază, obțineți următoarea valoare a ariei: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Răspuns. 10√3 cm 2.

Problema nr. 2

Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii de bază este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Este necesar să-i aflați suprafața.

Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, baza lui este un pătrat. Odată ce cunoașteți aria fețelor de bază și laterale, veți putea calcula aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și pentru fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.

Primele calcule sunt simple și duc la următorul număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.

Rezultă: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.

Problema nr. 3

Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. Se știe că latura pătratului este de 6 cm, iar înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Cel mai simplu mod este să utilizați formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este un pic mai complicat.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm Este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.

Apotema necesară (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este egală cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea necesară: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Răspuns. 96 cm 2.

Problema nr. 4

Condiție. Este dată partea corectă. Laturile bazei sale sunt de 22 mm, marginile laterale sunt de 61 mm. Care este suprafața laterală a acestui poliedru?

Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în sarcina nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.

În primul rând, aria de bază este calculată folosind formula de mai sus: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este fața laterală. (22+61*2):2 = 72 cm. Tot ce rămâne este să folosiți formula lui Heron pentru a calcula aria fiecărui astfel de triunghi, apoi să o înmulțiți cu șase și să o adăugați la cea obținută pentru bază.

Calcule folosind formula lui Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcule care vor da aria suprafeței laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.

Răspuns. Baza este de 726√3 cm2, suprafața laterală este de 3960 cm2, întreaga suprafață este de 5217 cm2.

Suprafața totală a suprafeței laterale a unei piramide este formată din suma suprafețelor fețelor sale laterale.

Într-o piramidă patruunghiulară, există două tipuri de fețe - un patrulater la bază și triunghiuri cu un vârf comun, care formează suprafața laterală.
Mai întâi trebuie să calculați aria fețelor laterale. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza formula pentru aria unui triunghi sau puteți folosi și formula pentru aria suprafeței unei piramide patrulatere (doar dacă poliedrul este regulat). Dacă piramida este regulată și se cunoaște lungimea muchiei a bazei și apotema h desenată la ea, atunci:

Dacă, conform condițiilor, sunt date lungimea muchiei c a unei piramide obișnuite și lungimea laturii bazei a, atunci puteți găsi valoarea folosind următoarea formulă:

Dacă sunt date lungimea muchiei de la bază și unghiul ascuțit opus acesteia în partea de sus, atunci aria suprafeței laterale poate fi calculată prin raportul dintre pătratul laturii a și cosinusul dublu a jumătate din unghiul α:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței unei piramide patrulatere prin marginea laterală și latura bazei.

Problemă: Să fie dată o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea marginii b = 7 cm, lungimea laturii bazei a = 4 cm. Înlocuiți valorile date în formula:

Am arătat calculele ariei unei fețe laterale pentru o piramidă obișnuită. Respectiv. Pentru a găsi aria întregii suprafețe, trebuie să înmulțiți rezultatul cu numărul de fețe, adică cu 4. Dacă piramida este arbitrară și fețele sale nu sunt egale între ele, atunci aria trebuie calculată. pentru fiecare parte individuală. Dacă baza este un dreptunghi sau un paralelogram, atunci merită să ne amintim proprietățile lor. Laturile acestor figuri sunt paralele în perechi și, în consecință, fețele piramidei vor fi, de asemenea, identice în perechi.
Formula pentru aria bazei unei piramide patruunghiulare depinde direct de patrulaterul care se află la bază. Dacă piramida este corectă, atunci aria bazei este calculată folosind formula, dacă baza este un romb, atunci va trebui să vă amintiți cum se află. Dacă există un dreptunghi la bază, atunci găsirea zonei acestuia va fi destul de simplă. Este suficient să cunoașteți lungimile laturilor bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide patruunghiulare.

Problemă: Să se dea o piramidă, la baza căreia se află un dreptunghi cu laturile a = 3 cm, b = 5 cm. Se coboară o apotema din vârful piramidei spre fiecare dintre laturi. h-a =4 cm, h-b =6 cm Vârful piramidei se află pe aceeași linie cu punctul de intersecție al diagonalelor. Aflați aria totală a piramidei.
Formula pentru aria unei piramide patruunghiulare constă din suma ariilor tuturor fețelor și aria bazei. Mai întâi, să găsim zona bazei:

Acum să ne uităm la părțile laterale ale piramidei. Sunt identice în perechi, deoarece înălțimea piramidei intersectează punctul de intersecție al diagonalelor. Adică, în piramida noastră există două triunghiuri cu baza a și înălțimea h-a, precum și două triunghiuri cu baza b și înălțimea h-b. Acum să găsim aria triunghiului folosind formula binecunoscută:

Acum să realizăm un exemplu de calcul al ariei unei piramide patrulatere. În piramida noastră cu un dreptunghi la bază, formula ar arăta astfel: