Formula pentru găsirea ariei unui cilindru. Exemple de cum se calculează aria unui cilindru

Suprafața unui cilindru. În acest articol ne vom uita la sarcini legate de suprafața. Blogul a acoperit deja sarcini cu un corp de rotație, cum ar fi un con. Un cilindru aparține și corpurilor de rotație. Ce este necesar și necesar să știți despre suprafața unui cilindru? Să ne uităm la dezvoltarea cilindrului:

Baza superioară și inferioară sunt două cercuri egale:

Suprafața laterală este un dreptunghi. Mai mult, o latură a acestui dreptunghi este egală cu înălțimea cilindrului, iar cealaltă este egală cu circumferința bazei. Permiteți-mi să vă reamintesc că circumferința unui cerc este:

Deci, formula pentru suprafața unui cilindru este:

*Nu este nevoie să înveți această formulă! Este suficient să cunoașteți formulele pentru aria unui cerc și lungimea circumferinței acestuia, apoi puteți întotdeauna să scrieți formula specificată. Înțelegerea ei este importantă! Să luăm în considerare sarcinile:

Circumferința bazei cilindrului este 3. Suprafața laterală este 6. Aflați înălțimea și aria suprafeței cilindrului (presupuneți că Pi este 3,14 și rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată zecime).

Suprafața totală a cilindrului:

Sunt date circumferința bazei și suprafața laterală a cilindrului. Adică, ni se oferă aria unui dreptunghi și una dintre laturile sale, trebuie să găsim cealaltă parte (aceasta este înălțimea cilindrului):

Este necesară raza și apoi putem găsi zona specificată.

Circumferința bazei este egală cu trei, apoi scriem:

Prin urmare

Rotunjind la cea mai apropiată zecime, obținem 7,4.

Răspuns: h = 2; S = 7,4

Suprafața laterală a cilindrului este de 72Pi, iar diametrul bazei este de 9. Aflați înălțimea cilindrului.

Mijloace

Raspuns: 8

Suprafața laterală a cilindrului este de 64Pi, iar înălțimea este de 8. Aflați diametrul bazei.

Suprafața laterală a cilindrului se găsește prin formula:

Diametrul este egal cu două raze, ceea ce înseamnă:

Raspuns: 8

27058. Raza bazei cilindrului este 2 și înălțimea este 3. Aflați aria suprafeței laterale a cilindrului împărțită la Pi.

27133. Circumferința bazei cilindrului este 3, înălțimea este 2. Aflați aria suprafeței laterale a cilindrului.

Este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică.

Cilindrul este format dintr-o suprafață laterală și două baze. Formula pentru suprafața unui cilindru include un calcul separat al ariei bazei și al suprafeței laterale. Deoarece bazele din cilindru sunt egale, aria sa totală va fi calculată prin formula:

Vom lua în considerare un exemplu de calcul al ariei unui cilindru după ce cunoaștem toate formulele necesare. Mai întâi avem nevoie de formula pentru zona bazei unui cilindru. Deoarece baza cilindrului este un cerc, va trebui să aplicăm:
Ne amintim că în aceste calcule se folosește numărul constant Π = 3,1415926, care se calculează ca raport dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Acest număr este o constantă matematică. De asemenea, ne vom uita la un exemplu de calcul al ariei bazei unui cilindru puțin mai târziu.

Suprafața laterală a cilindrului

Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru este produsul dintre lungimea bazei și înălțimea acesteia:

Acum să ne uităm la o problemă în care trebuie să calculăm aria totală a unui cilindru. În figura dată, înălțimea este h = 4 cm, r = 2 cm. Să aflăm aria totală a cilindrului.
Mai întâi, să calculăm aria bazelor:
Acum să ne uităm la un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unui cilindru. Când este extins, reprezintă un dreptunghi. Aria sa este calculată folosind formula de mai sus. Să înlocuim toate datele în el:
Aria totală a unui cerc este suma dublului ariei bazei și a laturii:

Astfel, folosind formulele pentru aria bazelor și suprafața laterală a figurii, am putut găsi suprafața totală a cilindrului.
Secțiunea axială a cilindrului este un dreptunghi în care laturile sunt egale cu înălțimea și diametrul cilindrului.

Formula pentru aria secțiunii transversale axiale a unui cilindru este derivată din formula de calcul:

Există un număr mare de probleme asociate cu cilindrul. În ele trebuie să găsiți raza și înălțimea corpului sau tipul secțiunii sale. În plus, uneori trebuie să calculați aria unui cilindru și volumul acestuia.

Ce corp este un cilindru?

În programa școlară se studiază un cilindru circular, adică unul la bază. Dar se distinge și aspectul eliptic al acestei figuri. Din nume este clar că baza sa va fi o elipsă sau un oval.

Cilindrul are două baze. Ele sunt egale între ele și sunt conectate prin segmente care combină punctele corespunzătoare ale bazelor. Se numesc generatoarele cilindrului. Toate generatoarele sunt paralele între ele și egale. Ele alcătuiesc suprafața laterală a corpului.

În general, un cilindru este un corp înclinat. Dacă generatoarele fac un unghi drept cu bazele, atunci vorbim de o figură dreaptă.

Interesant este că un cilindru circular este un corp de revoluție. Se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale.

Elementele principale ale cilindrului

Elementele principale ale cilindrului arată astfel.

1. Înălţime. Este cea mai scurtă distanță dintre bazele cilindrului. Dacă este dreaptă, atunci înălțimea coincide cu generatoarea.
2. Rază. Coincide cu cea care poate fi desenată la bază.
3. Axă. Aceasta este o linie dreaptă care conține centrele ambelor baze. Axa este întotdeauna paralelă cu toate generatoarele. Într-un cilindru drept este perpendicular pe baze.
4. Secțiune axială. Se formează atunci când un cilindru intersectează un plan care conține o axă.
5. Plan tangent. Trece prin una dintre generatrice și este perpendicular pe secțiunea axială, care este trasată prin această generatrice.

Cum este un cilindru conectat la o prismă înscris în el sau descris în jurul lui?

Uneori există probleme în care trebuie să calculați aria unui cilindru, dar unele elemente ale prismei asociate sunt cunoscute. Cum se raportează aceste cifre?

Dacă o prismă este înscrisă într-un cilindru, atunci bazele sale sunt poligoane egale. Mai mult, ele sunt înscrise în bazele corespunzătoare ale cilindrului. Marginile laterale ale prismei coincid cu generatoarele.

Prisma descrisă are poligoane regulate la bază. Ele sunt descrise în jurul cercurilor cilindrului, care sunt bazele acestuia. Planurile care conțin fețele prismei ating cilindrul de-a lungul generatoarelor lor.

Pe zona suprafeței laterale și a bazei pentru un cilindru circular drept

Dacă desfaceți suprafața laterală, veți obține un dreptunghi. Laturile sale vor coincide cu generatria și circumferința bazei. Prin urmare, aria laterală a cilindrului va fi egală cu produsul acestor două cantități. Dacă scrieți formula, obțineți următoarele:

Latura S = l * n,

unde n este generatorul, l este circumferința.

Mai mult, ultimul parametru este calculat folosind formula:

l = 2 π * r,

aici r este raza cercului, π este numărul „pi” egal cu 3,14.

Deoarece baza este un cerc, aria sa se calculează folosind următoarea expresie:

S principal = π * r 2 .

Pe zona întregii suprafețe a unui cilindru circular drept

Deoarece este format din două baze și o suprafață laterală, trebuie să adăugați aceste trei cantități. Adică, aria totală a cilindrului va fi calculată prin formula:

S etaj = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Este adesea scris într-o formă diferită:

S etaj = 2 π * r (n + r).

Pe zonele unui cilindru circular înclinat

În ceea ce privește bazele, toate formulele sunt la fel, pentru că sunt încă cercuri. Dar suprafața laterală nu mai dă dreptunghi.

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unui cilindru înclinat, va trebui să înmulțiți valorile generatricei și perimetrul secțiunii, care va fi perpendicular pe generatricea selectată.

Formula arată astfel:

Latura S = x * P,

unde x este lungimea generatricei cilindrului, P este perimetrul secțiunii.

Apropo, este mai bine să alegeți o secțiune astfel încât să formeze o elipsă. Apoi calculele perimetrului acestuia vor fi simplificate. Lungimea elipsei este calculată folosind o formulă care oferă un răspuns aproximativ. Dar este adesea suficient pentru sarcinile unui curs școlar:

l = π * (a + b),

unde „a” și „b” sunt semiaxele elipsei, adică distanța de la centru până la punctele sale cele mai apropiate și cele mai îndepărtate.

Aria întregii suprafețe trebuie calculată folosind următoarea expresie:

S etaj = 2 π * r 2 + x * R.

Care sunt unele secțiuni ale unui cilindru circular drept?

Când o secțiune trece printr-o axă, aria sa este determinată ca produs al generatricei și diametrul bazei. Acest lucru se explică prin faptul că are forma unui dreptunghi, ale cărui laturi coincid cu elementele desemnate.

Pentru a găsi aria secțiunii transversale a unui cilindru care este paralel cu cel axial, veți avea nevoie și de o formulă pentru un dreptunghi. În această situație, una dintre laturile sale va coincide în continuare cu înălțimea, iar cealaltă va fi egală cu coarda bazei. Acesta din urmă coincide cu linia de secțiune de-a lungul bazei.

Când secțiunea este perpendiculară pe axă, arată ca un cerc. Mai mult, aria sa este aceeași cu cea a bazei figurii.

De asemenea, este posibil să se intersecteze la un anumit unghi cu axa. Apoi, secțiunea transversală are ca rezultat un oval sau o parte a acestuia.

Exemple de probleme

Sarcina nr. 1. Dat un cilindru drept a cărui aria de bază este de 12,56 cm 2 . Este necesar să se calculeze suprafața totală a cilindrului dacă înălțimea acestuia este de 3 cm.

Soluţie. Este necesar să utilizați formula pentru suprafața totală a unui cilindru drept circular. Dar îi lipsesc date și anume raza bazei. Dar aria cercului este cunoscută. Este ușor să calculezi raza din aceasta.

Se dovedește a fi egal cu rădăcina pătrată a coeficientului, care se obține prin împărțirea ariei bazei la pi. După împărțirea 12,56 la 3,14, rezultatul este 4. Rădăcina pătrată a lui 4 este 2. Prin urmare, raza va avea această valoare.

Răspuns: S podea = 50,24 cm 2.

Sarcina nr. 2. Un cilindru cu raza de 5 cm este tăiat de un plan paralel cu axa. Distanța de la secțiune la axă este de 3 cm. Înălțimea cilindrului este de 4 cm. Trebuie să găsiți aria secțiunii transversale.

Soluţie. Forma secțiunii transversale este dreptunghiulară. Una dintre laturile sale coincide cu înălțimea cilindrului, iar cealaltă este egală cu coarda. Dacă prima cantitate este cunoscută, atunci trebuie găsită a doua.

Pentru a face acest lucru, trebuie făcută construcție suplimentară. La bază desenăm două segmente. Ambele vor începe din centrul cercului. Prima se va termina în centrul coardei și egală cu distanța cunoscută până la axă. Al doilea este la sfârșitul acordului.

Veți obține un triunghi dreptunghic. În ea sunt cunoscute ipotenuza și unul dintre catete. Ipotenuza coincide cu raza. Al doilea picior este egal cu jumătate din coardă. Piciorul necunoscut înmulțit cu 2 va da lungimea dorită a acordului. Să-i calculăm valoarea.

Pentru a găsi catetul necunoscut, va trebui să pătrați ipotenuza și catetul cunoscut, să scădeți al doilea din primul și să luați rădăcina pătrată. Pătratele sunt 25 și 9. Diferența lor este 16. După ce ați luat rădăcina pătrată, rămâne 4. Acesta este piciorul dorit.

Coarda va fi egală cu 4 * 2 = 8 (cm). Acum puteți calcula aria secțiunii transversale: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Răspuns: crucea S este egală cu 32 cm 2.

Sarcina nr. 3. Este necesar să se calculeze aria secțiunii transversale axiale a cilindrului. Se știe că în el este înscris un cub cu marginea de 10 cm.

Soluţie. Secțiunea axială a cilindrului coincide cu un dreptunghi care trece prin cele patru vârfuri ale cubului și conține diagonalele bazelor acestuia. Latura cubului este generatoarea cilindrului, iar diagonala bazei coincide cu diametrul. Produsul acestor două cantități va da zona pe care trebuie să o aflați în problemă.

Pentru a găsi diametrul, va trebui să cunoașteți că baza cubului este un pătrat, iar diagonala sa formează un triunghi dreptunghic echilateral. Ipotenuza sa este diagonala dorită a figurii.

Pentru a-l calcula, veți avea nevoie de formula teoremei lui Pitagora. Trebuie să pătrați latura cubului, să o înmulțiți cu 2 și să luați rădăcina pătrată. Zece la a doua putere este o sută. Înmulțit cu 2 este două sute. Rădăcina pătrată a lui 200 este 10√2.

Secțiunea este din nou un dreptunghi cu laturile 10 și 10√2. Aria sa poate fi calculată cu ușurință prin înmulțirea acestor valori.

Răspuns. Secțiunea S = 100√2 cm 2.

Numele științei „geometrie” este tradus ca „măsurarea pământului”. A luat naștere prin eforturile primilor administratori de terenuri antice. Și s-a întâmplat așa: în timpul inundațiilor Nilului sacru, șuvoaiele de apă spălau uneori granițele parcelelor fermierilor, iar noile granițe s-ar putea să nu coincidă cu cele vechi. Impozitele erau plătite de țărani la vistieria faraonului proporțional cu mărimea terenului. Oameni speciali au fost implicați în măsurarea suprafețelor de teren arabil din noile limite după deversare. În urma activităților lor, a apărut o nouă știință, care a fost dezvoltată în Grecia Antică. Acolo și-a primit numele și a căpătat un aspect aproape modern. Ulterior, termenul a devenit un nume internațional pentru știința figurilor plate și tridimensionale.

Planimetria este o ramură a geometriei care se ocupă cu studiul figurilor plane. O altă ramură a științei este stereometria, care examinează proprietățile figurilor spațiale (volumice). Astfel de cifre o includ pe cea descrisă în acest articol - un cilindru.

Există o mulțime de exemple de prezență a obiectelor cilindrice în viața de zi cu zi. Aproape toate piesele rotative - arbori, bucșe, jurnale, osii etc. - au o formă cilindrică (mult mai rar - conică). Cilindrul este utilizat pe scară largă și în construcții: turnuri, coloane de susținere, coloane decorative. Și, de asemenea, vase, unele tipuri de ambalaje, țevi de diferite diametre. Și în sfârșit - celebrele pălării, care au devenit de mult un simbol al eleganței masculine. Lista continuă și continuă.

Definirea unui cilindru ca figură geometrică

Un cilindru (cilindru circular) este de obicei numit o figură constând din două cercuri, care, dacă se dorește, sunt combinate folosind translația paralelă. Aceste cercuri sunt bazele cilindrului. Dar liniile (segmente drepte) care leagă punctele corespunzătoare se numesc „generatoare”.

Este important ca bazele cilindrului să fie întotdeauna egale (dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci avem un trunchi de con, altceva, dar nu un cilindru) și să fie în planuri paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare pe cercuri sunt paralele și egale.

Setul unui număr infinit de elemente de formare nu este altceva decât suprafața laterală a cilindrului - unul dintre elementele unei figuri geometrice date. Cealaltă componentă importantă a acesteia sunt cercurile discutate mai sus. Se numesc baze.

Tipuri de cilindri

Cel mai simplu și cel mai comun tip de cilindru este circular. Este format din două cercuri regulate care acționează ca baze. Dar în locul lor pot exista și alte cifre.

Bazele cilindrilor pot forma (pe lângă cercuri) elipse și alte figuri închise. Dar cilindrul poate să nu aibă neapărat o formă închisă. De exemplu, baza unui cilindru poate fi o parabolă, o hiperbolă sau o altă funcție deschisă. Un astfel de cilindru va fi deschis sau desfășurat.

După unghiul de înclinare al cilindrilor care formează bazele, aceștia pot fi drepti sau înclinați. Pentru un cilindru drept, generatricele sunt strict perpendiculare pe planul bazei. Dacă acest unghi este diferit de 90°, cilindrul este înclinat.

Ce este o suprafață a revoluției

Cilindrul circular drept este fără îndoială cea mai comună suprafață de rotație folosită în inginerie. Uneori, din motive tehnice, se folosesc suprafețe conice, sferice și alte tipuri de suprafețe, dar 99% din toți arborii rotativi, axele etc. sunt realizate sub formă de cilindri. Pentru a înțelege mai bine ce este o suprafață de revoluție, putem lua în considerare modul în care este format cilindrul în sine.

Să presupunem că există o anumită linie dreaptă A, situat pe verticală. ABCD este un dreptunghi, una dintre ale cărui laturi (segmentul AB) se află pe o dreaptă A. Dacă rotim un dreptunghi în jurul unei linii drepte, așa cum se arată în figură, volumul pe care îl va ocupa în timp ce se rotește va fi corpul nostru de revoluție - un cilindru circular drept cu înălțimea H = AB = DC și raza R = AD = BC.

În acest caz, ca urmare a rotirii figurii - un dreptunghi - se obține un cilindru. Prin rotirea unui triunghi, puteți obține un con, prin rotirea unui semicerc - o bilă etc.

Suprafața cilindrului

Pentru a calcula suprafața unui cilindru circular drept obișnuit, este necesar să se calculeze ariile bazelor și ale suprafețelor laterale.

Mai întâi, să ne uităm la modul în care este calculată aria suprafeței laterale. Acesta este produsul dintre circumferința cilindrului și înălțimea cilindrului. Circumferința, la rândul său, este egală cu dublul produsului numărului universal P după raza cercului.

Se știe că aria unui cerc este egală cu produsul P pe raza pătrată. Deci, adăugând formulele pentru aria de determinare a suprafeței laterale cu expresia dublă pentru aria bazei (sunt două) și făcând transformări algebrice simple, obținem expresia finală pentru determinarea suprafeței zona cilindrului.

Determinarea volumului unei figuri

Volumul unui cilindru este determinat conform schemei standard: suprafața bazei este înmulțită cu înălțimea.

Astfel, formula finală arată astfel: valoarea dorită este definită ca produsul înălțimii corpului cu numărul universal P iar după pătratul razei bazei.

Formula rezultată, trebuie spus, este aplicabilă pentru rezolvarea celor mai neașteptate probleme. În același mod ca și volumul cilindrului, de exemplu, se determină volumul cablurilor electrice. Acest lucru poate fi necesar pentru a calcula masa firelor.

Singura diferență în formulă este că în loc de raza unui cilindru există diametrul firului de cablu împărțit la jumătate, iar numărul de fire din fir apare în expresie N. De asemenea, în loc de înălțime, se folosește lungimea firului. În acest fel, volumul „cilindrului” este calculat nu doar de unul, ci de numărul de fire din împletitură.

Astfel de calcule sunt adesea necesare în practică. La urma urmei, o parte semnificativă a recipientelor de apă sunt realizate sub formă de țeavă. Și este adesea necesar să se calculeze volumul unui cilindru chiar și în gospodărie.

Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, forma cilindrului poate fi diferită. Și în unele cazuri este necesar să se calculeze care este volumul unui cilindru înclinat.

Diferența este că suprafața bazei nu este înmulțită cu lungimea generatricei, ca în cazul unui cilindru drept, ci cu distanța dintre plane - un segment perpendicular construit între ele.

După cum se poate observa din figură, un astfel de segment este egal cu produsul dintre lungimea generatricei și sinusul unghiului de înclinare al generatricei față de plan.

Cum se construiește un cilindru

În unele cazuri, este necesar să tăiați o rază de cilindru. Figura de mai jos arată regulile prin care se construiește un semifabricat pentru fabricarea unui cilindru cu o înălțime și un diametru dat.

Vă rugăm să rețineți că desenul este afișat fără cusături.

Diferențele dintre un cilindru teșit

Să ne imaginăm un anumit cilindru drept, delimitat pe o parte de un plan perpendicular pe generatoare. Dar planul care delimitează cilindrul de cealaltă parte nu este perpendicular pe generatoare și nu este paralel cu primul plan.

Figura prezintă un cilindru teșit. Avion A la un anumit unghi, diferit de 90° față de generatoare, intersectează figura.

Această formă geometrică se găsește mai des în practică sub formă de conexiuni de conducte (coturi). Dar există chiar și clădiri construite sub forma unui cilindru teșit.

Caracteristicile geometrice ale unui cilindru teșit

Înclinarea unuia dintre planurile unui cilindru teșit modifică ușor procedura de calcul atât a suprafeței unei astfel de figuri, cât și a volumului acesteia.

Să considerăm un cilindru de rotație cu raza R și înălțimea h (Fig. 383). La baza acestui cilindru vom inscrie un poligon regulat (un hexagon din Fig. 383) si cu ajutorul lui vom construi o prisma regulata inscrisa in cilindru. În același mod, se pot descrie prisme regulate cu un număr arbitrar de fețe laterale în jurul unui cilindru.

Prin definiție, aria suprafeței laterale a unui cilindru este considerată limita la care tind ariile suprafețelor laterale ale prismelor regulate înscrise și circumscrise în jurul acestuia, pe măsură ce numărul fețelor lor laterale se dublează la infinit (sau crește în general. ).

Vom demonstra acum că o astfel de limită există. Dacă luăm ca bază o prismă regulată înscrisă construită pe un triunghi regulat, atunci pentru suprafața sa laterală vom avea expresia , unde este perimetrul unui triunghi regulat înscris în cercul bazei cilindrului. La . Exact același calcul pentru prisma descrisă dă același rezultat. Deci, aria suprafeței laterale a cilindrului de rotație este exprimată prin formula

Suprafața laterală a cilindrului este egală cu produsul dintre lungimea generatricei și perimetrul (adică circumferința) bazei.

Problema 1. Segmentul care leagă punctele diametral opuse A și B ale bazelor superioare și inferioare ale cilindrului (Fig. 384) are 10 cm și înclinat față de planul bazei la un unghi de 60°. Găsiți aria suprafeței laterale a cilindrului.

Soluţie. Să desenăm o secțiune transversală prin segmentul L cu un plan perpendicular pe baza cilindrului. Din triunghiul pe care îl avem

unde găsim pentru suprafața laterală a cilindrului

Problema 2. Triunghiul ABC, vârfurile A și B ale căror vârfuri sunt capetele diametrului bazei inferioare a cilindrului, iar vârful C este capătul diametrului bazei superioare perpendicular pe acesta, echilateral cu latura a,

Găsiți aria suprafețelor laterale și totale ale cilindrului. Soluţie. Raza bazei cilindrului este egală cu Înălțimea triunghiului ABC (Fig. 385) este egală cu și generatoarea cilindrului se calculează ca

Prin urmare, suprafața laterală a cilindrului este egală cu

iar suprafața totală (egală cu suma ariei suprafeței laterale și aria celor două baze ale cilindrului) este egală cu

Exerciții

1. Diagonalele fețelor laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt înclinate față de planul bazei la unghiuri respectiv egale cu . Aflați unghiul de înclinare față de același plan al diagonalei paralelipipedului.

2. La un paralelipiped drept, unghiul ascuțit al bazei este egal cu a, iar una dintre laturile bazei este egală cu a. Secțiunea trasată prin această latură și marginea opusă a bazei superioare are aria Q, iar planul său este înclinat față de planul bazei la un unghi . Aflați volumul și suprafața totală a paralelipipedului.

3. Baza unei prisme triunghiulare înclinate este un triunghi dreptunghic isoscel, iar proiecția uneia dintre marginile laterale pe planul bazei coincide cu mediana m a unuia dintre catetele triunghiului. Aflați unghiul de înclinare al nervurilor laterale față de planul bazei dacă volumul prismei este egal cu V.

4. Într-o prismă hexagonală obișnuită, două secțiuni sunt trasate prin lateralul bazei: 1) care conține latura opusă a bazei superioare, 2) care conține centrul bazei superioare. La ce înălțime a prismei unghiul dintre planurile de secțiune are cea mai mare valoare și cu ce este egal în acest caz?