Volumul unui triunghi echilateral. Cum să aflați aria unui triunghi echilateral: formule de bază

Dintre figurile geometrice care sunt discutate în secțiunea de geometrie, cel mai des întâlnit la rezolvarea anumitor probleme este un triunghi. Este format din trei linii drepte. Ele nu se intersectează într-un punct și nu sunt paralele. O altă definiție poate fi dată: un triunghi este o linie închisă întreruptă constând din trei legături, unde începutul și sfârșitul său sunt conectate într-un punct. Dacă toate cele trei laturi sunt de dimensiune egală, atunci este un triunghi regulat sau, după cum se spune, echilateral.

Cum să determinați Pentru a rezolva astfel de probleme, trebuie să cunoașteți câteva proprietăți ale acestei figuri geometrice. În primul rând, acesta are toate unghiurile egale. În al doilea rând, înălțimea care coboară de sus în jos este atât mediana, cât și înălțimea. Acest lucru sugerează că înălțimea împarte vârful triunghiului în două unghiuri egale, iar latura opusă în două segmente egale. Deoarece un triunghi echilateral este format din doi, atunci când se determină valoarea necesară este necesar să se folosească teorema lui Pitagora.

Calcularea ariei unui triunghi se poate face în diferite moduri, în funcție de cantitățile cunoscute.

1. Să considerăm un triunghi echilateral cu latura b cunoscută și înălțimea h. Aria triunghiului în acest caz va fi egală cu jumătate din produsul laturii și înălțimii. Sub formă de formulă, va arăta astfel:

Cu alte cuvinte, aria unui triunghi echilateral este egală cu jumătate din produsul laturii sale și al înălțimii sale.

2. Dacă se cunoaște doar dimensiunea laterală, atunci înainte de a căuta zona, este necesar să se calculeze înălțimea acesteia. Pentru a face acest lucru, luați în considerare o jumătate de triunghi în care altitudinea va fi unul dintre catete, ipotenuza este latura triunghiului, iar al doilea catet este jumătate din latura triunghiului în funcție de proprietățile sale. Toate din aceeași teoremă a lui Pitagora După cum se știe din aceasta, pătratul ipotenuzei corespunde sumei pătratelor catetelor. Dacă luăm în considerare jumătate de triunghi, atunci în acest caz latura este ipotenuza, jumătate de latură este un catet, iar înălțimea este a doua.

(b/2)²+ h2= b², deci

h²= b²-(b/2)². Să o aducem la un numitor comun:

După cum puteți vedea, înălțimea figurii în cauză este egală cu produsul dintre jumătatea laturii sale și rădăcina lui trei.

Să o înlocuim în formulă și să vedem: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

Adică, aria unui triunghi echilateral este egală cu produsul dintre a patra parte a pătratului laturii și rădăcina lui trei.

3. Există, de asemenea, probleme în care este necesar să se determine aria unui triunghi echilateral cu o înălțime cunoscută. Și se dovedește a fi la fel de ușor ca decojirea perelor. Am dedus deja în cazul precedent că h²= 3 b²/4. Apoi, trebuie să derivați partea de aici și să o înlocuiți în formula zonei. Va arăta astfel:

b²=4/3* h², deci b=2h/√3. Înlocuind în formula pentru zonă, obținem:

S=1/2* h*2h/√3, deci S= h²/√3.

Există probleme atunci când este necesar să găsiți aria unui triunghi echilateral de-a lungul razei unui cerc înscris sau circumscris. Există și anumite formule pentru acest calcul, care arată astfel: r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Acționăm conform unui principiu care ne este deja familiar. Cu o rază cunoscută, derivăm latura din formulă și o calculăm prin înlocuirea valorii cunoscute a razei. Înlocuim valoarea rezultată în formula deja cunoscută pentru calcularea ariei unui triunghi obișnuit, efectuăm calcule aritmetice și găsim valoarea dorită.

După cum vedem, pentru a rezolva probleme similare, este necesar să cunoaștem nu numai proprietățile unui triunghi regulat, ci și teorema lui Pitagora și raza cercului circumscris și înscris. Pentru cei care au aceste cunoștințe, rezolvarea unor astfel de probleme nu va fi deosebit de dificilă.

Puteți găsi aria unui triunghi echilateral folosind orice formulă pentru o figură arbitrară de un anumit tip sau le puteți utiliza pe cele care iau deja în considerare particularitățile acestei figuri particulare, iar expresiile matematice sunt simplificate semnificativ.

Primul caz necesită doar înlocuirea tuturor laturilor cu aceeași valoare și luând în considerare faptul că toate unghiurile triunghiului sunt egale cu 60º. Apoi rămâne de efectuat transformări simple, care vor duce la formulele date în formă finită puțin mai jos.

Formula 1: partea cunoscută

În această formulă și în formulele ulterioare, sunt utilizate notații standard pentru mărimile triunghiulare. Le puteți vedea mai detaliat în tabelul propus.

Aria triunghiului în acest caz va fi calculată folosind formula:

S = √3/4 * a 2.

Se obține ușor din cel cunoscut pentru o figură arbitrară cu trei laturi. Trebuie doar să țineți cont în formulă că toate laturile unui triunghi sunt egale.

Pentru a fi mai precis, veți avea nevoie de formula lui Heron: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Valoarea semiperimetrului pentru un triunghi echilateral va fi 3a/2. Astfel, în fiecare paranteză de sub rădăcină obținem expresia ((3a/2) - a). Va da după transformarea a/2.

Deoarece există trei paranteze, această expresie va avea un al treilea grad. Aceasta înseamnă că va fi transformat într-un 3/8.

Mai trebuie înmulțit cu semiperimetrul, care este definit ca suma laturilor împărțită la 2. Rezultatul este expresia: 3a 4 /16. După extragerea rădăcinii pătrate, va rămâne expresia dată în prima formulă pentru aria unui triunghi echilateral.

Prin urmare, nu este nevoie să memorezi multe formule. Îți poți aminti doar unul - Heron. Din ea, prin simple transformări matematice, toate celelalte se obțin, de exemplu, pentru un triunghi echilateral.

Formula 2: dată fiind raza cercului înscris

Această expresie este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Dar există încă diferențe semnificative: se folosește o altă literă, iraționalitatea a intrat în numitor, a apărut un factor de 3 și a dispărut numărul 4. În general, este ușor de reținut.

S = 3√3 * r 2 .

Această formulă este, de asemenea, ușor de obținut din cea dată pentru un triunghi arbitrar. În ea, raza este înmulțită cu suma laturilor și împărțită la 4. Deoarece laturile au aceeași valoare, suma va fi înlocuită cu 3a. Acum trebuie să eliminăm „a”, astfel încât să rămână doar valoarea razei. Pentru a face acest lucru, veți avea nevoie de o expresie în care latura este împărțită la produsul lui 2 și sinusul unghiului opus laturii. Deoarece unghiul este de 60º, valoarea sinusului va fi √3/2. Atunci latura va fi exprimată prin rază după cum urmează: a = √3R. După o simplă transformare, puteți ajunge la expresia pentru zona care a fost dată la început.

Formula 3: dat fiind cercul circumferitor și raza acestuia

Este foarte asemănător cu primul. Numai în numărătorul său apare numărul 3 și litera s-a schimbat în R.

S = 3√3/4 * R 2.

Deoarece raza este de două ori mai mare decât cea discutată în paragraful anterior, este clar cum se obține. Pur și simplu înlocuiește r cu R/2. Iar modificările necesare se fac.

Prin urmare, nu trebuie să vă amintiți formula. Țineți cont de raportul dintre razele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi echilateral.

Formula 4: înălțimea cunoscută

În acest caz, aria triunghiului echilateral este:

S = n 2 / √3.

Pentru a înțelege cum se obține o astfel de formulă, va trebui să utilizați din nou cea comună tuturor triunghiurilor. Se pare că produsul lateral înmulțit cu înălțimea și ½. Acum, pentru a afla aria unui triunghi echilateral, va trebui să vă amintiți sau să obțineți o expresie matematică pentru înălțime.

Este ușor de recunoscut dacă profitați de faptul că înălțimea formează un triunghi dreptunghic. Aceasta înseamnă că înălțimea poate fi găsită ca un picior - din teorema lui Pitagora. Al doilea picior va fi egal cu jumătatea laturii, deoarece înălțimea este și mediana (aceasta este o proprietate binecunoscută a unui triunghi echilateral). Apoi, înălțimea va fi determinată ca rădăcină pătrată a diferenței a două pătrate. Primul este „a”, iar al doilea este „a/2”. După ridicarea la a doua putere și extragerea rădăcinii, rămâne: n = (√3/2)*a. Din aceasta a = 2n/√3. După ce o înlocuiți în formula de bază pentru toate triunghiurile, veți obține expresia care este indicată la începutul secțiunii.

Exemplul nr. 1

Condiție. Calculați aria unui triunghi echilateral dacă se știe că latura lui are valoarea de 4 cm.

Soluţie. Deoarece semnificația laturilor figurii este cunoscută, este necesar să folosiți prima formulă.

Mai întâi trebuie să pătrați numărul 4. Din această acțiune obțineți numărul 16. Acum se anulează cu patru în numitor. Și, ca urmare, numărătorul rămâne 4 și √3, iar numitorul devine egal cu unu, ceea ce înseamnă că pur și simplu nu poate fi notat. Acesta este rezultatul care trebuia găsit în problemă.

Răspuns: 4√3 cm 2.

Exemplul nr. 2

Condiție. Toate laturile unui triunghi echilateral sunt egale cu 2√2 in. Calculați-i aria.

Soluţie. Raționamentul este același ca în prima problemă. Doar valoarea pătratului laturii va fi diferită. În ea trebuie să ridicați separat 2 și iraționalitatea la a doua putere. Și rezultatul va fi așa: 4*2 = 8. După reducerea cu numitorul, 2 și √3 rămân în numărătorul fracției, iar numitorul dispare.

Răspuns: 2√3 dm 2 .

Exemplul nr. 3

Condiție. Un cerc este înscris într-un triunghi echilateral, raza lui este de 2,5 cm. Este necesar să se calculeze aria triunghiului.

Soluţie. Pentru a calcula valoarea necesară, va trebui să utilizați a doua formulă.

În primul rând, valoarea razei trebuie să fie pătrat. Rezultatul va fi 6,25. Apoi această valoare trebuie înmulțită cu 3. Rezultatul acestei acțiuni va fi numărul 18,75. Dar aceasta nu este valoarea finală: va conține factorul √3, care este prezent în formula utilizată.

Răspuns: 18,75√3 cm2.

Exemplul nr. 4

Condiție. Trebuie să determinați care este aria unui triunghi echilateral dacă înălțimea acestuia este cunoscută - 3 dm.

Soluţie. Desigur, trebuie să alegeți a patra formulă. Este cel mai simplu mod de a găsi răspunsul la această problemă.

Este suficient doar să pătrați numărul 3, adică înălțimea, care va da valoarea 9. Și apoi împărțiți-l la √3, care este în formulă.

Deoarece în matematică nu este obișnuit să lăsăm iraționalitatea în numitorul răspunsului, trebuie să scăpăm de ea. Pentru a face acest lucru, fracția 9/√3 va trebui înmulțită cu o fracție cu același numărător și numitor, și anume √3/√3. Din această acțiune, la numărător va apărea valoarea 9√3, iar la numitor va apărea numărul 3.

Această fracție poate și ar trebui să fie redusă cu 3. Acesta este rezultatul final.

Răspuns: suprafață - 3√3 dm 2.

Exemplul nr. 5

Condiție. Dat un triunghi echilateral a cărui aria este de 27 cm 2 . Din această valoare trebuie să aflați lungimea laturii figurii.

Soluţie. Din moment ce vorbim despre lateral, prima formulă va fi potrivită. Din aceasta puteți deriva imediat o expresie matematică care vă va permite să determinați latura triunghiului.

Pentru a face acest lucru, aria trebuie înmulțită cu 4 și împărțită la rădăcina pătrată a lui trei. Aceasta vă va oferi valoarea pentru latura pătrat. Pentru a obține doar o parte, trebuie să extrageți rădăcina. Expresia laturii va arăta astfel: a = 2 * √(S/√3).

Deoarece zona este cunoscută, puteți începe imediat calculele. Expresia radicală arată ca câtul dintre 27 și √3. Trebuie să scăpăm de iraționalitatea în numitor. Rezultatul este 27√3 împărțit la 3. După reducere, 1 rămâne la numitor, care poate fi omis, iar 9√3 rămâne la numărător.

Următorul pas este extragerea rădăcinii expresiei rezultate. Primul factor dă valoarea 3. Dar al doilea - √3 - necesită atenție. Pentru a ușura lucrurile, puteți extrage aceste rădăcini și puteți rotunji valorile.

√3 = 1,73; Acum extragem din nou rădăcina din ea și obținem 1.32.

Rămâne doar să o înmulțiți cu 2 și să obțineți rezultatul dorit.

Răspuns: latura este de 2,64 cm.

Un triunghi echilateral este cel mai simplu poligon regulat posibil. La găsirea zonei sale, apar variante particulare ale calculului său. Este important să cunoașteți și să înțelegeți semnele și proprietățile acestui tip de figuri pentru a calcula mai ușor acest parametru. Toate metodele prezentate mai jos sunt destul de simplu de utilizat și nu necesită o gândire profundă.

In contact cu

Semne și proprietăți ale figurii

• Valoarea sa este aceeași în toate cazurile și este egală 60 de grade, indiferent de dimensiunea laturilor.
• , înălțimea și mediana eliberate dintr-un colț vor coincide.
• Orice latură a unui triunghi echilateral egală cu celelalte două.
• Centrul unui triunghi regulat va fi centrul pentru .
• Este un caz special de triunghi isoscel.

Important! Dacă cel puțin una dintre aceste caracteristici este îndeplinită, atunci triunghiul este echilateral.

Triunghi echilateral

În plus, acest caz special al unei figuri are urmatoarele proprietati:

Calcul prin lateral

Există multe moduri de a calcula aria acestei figuri. Toate au avantajele și dezavantajele lor. Ele se aplică în funcție de condițiile prezentate problemei. Cea mai populară modalitate de a găsi valoarea dorită pentru un triunghi echilateral este calculată prin produsul dintre jumătatea laturilor și sinusul unghiului dintre ele, arată astfel: , unde a și b sunt laturile, α este unghiul dintre lor.

În cazul echilateralului, această metodă este simplificată în mare măsură. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă referiți la semnele și proprietățile discutate mai sus. Pe baza faptului că toate unghiurile acestei figuri sunt egale și egale cu 60 de grade. Sine 60 de grade, conform masa Bradis, este egal cu , transformând expresia originală obținem următoarea valoare: .

Având în vedere că toate laturile acestei figuri sunt egale, expresia transformată va da următorul rezultat: .

Această formulă este perfectă dacă știi dimensiunea laterală aceasta figura. În această formă, calcularea acestui indicator este mult mai ușoară și mai rapidă.

Cei care își amintesc formula lui Heron știu să găsească aria acestei figuri. În timpul procesului de conversie, expresia se va schimba în cea afișată mai sus. Zona acestei figuri după Heron se calculează astfel: , unde, a, b, c sunt laturile, iar p este semiperimetrul (). Această expresie este convertită destul de simplu. Este necesar să înlocuiți calculul semiperimetrului în locul valorii p și să începeți treptat să reduceți expresia. Suma laturilor poate fi reprezentată ca suma a trei laturi egale și reducerile efectuate. Matematic arata cam asa:

;

;

Formula de suprafață rezultată și funcțiile prezentate mai jos pot fi utilizate numai dacă figura este corect altfel nu va da raspunsul corect.

Calcularea ariei unui triunghi pe baza laturii sale

Calculul înălțimii

Puteți găsi, de asemenea, aria unui triunghi echilateral dacă îl cunoașteți si lateral. Jumătate din lungimea înălțimii este înmulțită cu latura; orice înălțime și latură pot fi selectate, deoarece, în funcție de proprietăți, acestea toti sunt la fel: , unde a este lungimea laturii. Este ușor de reținut, totuși, în practică este folosit destul de rar.

Dacă problema conține informații că triunghiul este echilateral și se cunoaște înălțimea. Și nu se știe care este lungimea laturii, atunci puteți folosi o formulă care vă permite să o calculați. Găsiți partea poate fi împărțit prin împărțirea înălțimii duble la rădăcina pătrată a lui trei, matematic arată astfel: . După aceasta, se aplică formula zonei, unde calculele se fac prin lateral; este descrisă în paragraful anterior.

Pentru a nu face calcule inutile, puteți obține formula pentru acest indicator imediat prin inaltime. Pătratul înălțimii este împărțit la rădăcina pătrată a lui trei. Va arăta astfel: . În acest caz, nu trebuie să aplicați formula unui triunghi isoscel prin latură.

Calcularea ariei unui triunghi pe baza laturii și înălțimii sale

Calcul prin cercuri

În matematică, este populară și metoda de calcul a valorii discutată în articol prin plasarea unei figuri într-un cerc sau invers. Un astfel de cerc numit descris. Dacă este în interior, atunci se numește inscripționat. În această secțiune apar cele mai multe întrebări despre cum să găsiți aria unui poligon echilateral cu trei unghiuri.

Cercul circumscris trebuie să treacă prin toate culmile, înscrisul trebuie să treacă prin laturi doar într-un punct de-a lungul tangentei.

Desenul unui triunghi echilateral circumscris sau înscris într-un cerc

Dacă enunțul problemei dă raza cercului înscris și circumscris, atunci se poate face și o expresie din ele, deoarece împreună dau lungimea totală a înălțimii. Cum se calculează aria folosind aceasta este prezentat mai sus: h = R + r.

Prin transformarea formulei, aplicând calculul înălțimii h = R + r, se poate obține următoarea valoare: . Această formulă poate fi simplificată și mai mult, deoarece raza cercului circumscris poate fi exprimată prin raza înscrisă. Conform proprietăților acestor cercuri, R = 2r, unde r este raza cercului înscris, R este raza cercului circumscris. Respectiv aria unui triunghi regulat se va calcula astfel: .

Dacă este dată dimensiunea razei cercului circumscris, atunci expresia va arăta astfel: .

Utilizarea acestor proprietăți este utilă pentru calcularea laturii unei figuri. Pentru a-l găsi, puteți folosi expresia pentru cercul circumscripționat și cercul înscris.

Având în vedere raza cercului circumscris, puteți găsi valoarea dorită cubând latura, după care rezultatul este împărțit la raza crescută. de 4 ori. Matematic se poate scrie astfel: .

Procesul de calculare a aria unui triunghi echilateral cu ajutorul oricăreia dintre formulele propuse nu ar trebui să provoace dificultăți deosebite. Pentru a face față cu succes acestei sarcini, nu trebuie să vă amintiți toate metodele specificate; este suficient să vă amintiți generalul de bază. formule de calcul, precum și proprietățile și caracteristicile acestei figuri.

Atenţie! Pentru a verifica corectitudinea calculelor, puteți utiliza mai multe metode; rezultatele ar trebui să se potrivească.

Aria unui triunghi echilateral

Aria unui triunghi echilateral înscris într-un cerc

Prin aplicarea gândirii logice, calculele sunt ușor de transformat în cazuri speciale, dintre care mai sunt multe. Nu este indicat să vă umpleți capul cu o cantitate mare de informații irelevante; este mai bine să dezvoltați o relație cauză-efect pentru a transforma expresiile.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Cele mai frecvente întrebări

Se poate face o ștampilă pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da este posibil. Trimiteți o copie scanată sau o fotografie de bună calitate la adresa noastră de e-mail și vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul la primirea de catre curier, dupa verificarea corectitudinii completarii si a calitatii executiei diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și de plată pentru documente sunt descrise în secțiunea „Plată și livrare”. De asemenea, suntem gata să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la termenii de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri web care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să rezolve problemele de angajare sau să treacă la locuri de muncă mai bine plătite. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem asta. Mai mult, acest lucru este pur și simplu imposibil de făcut fizic: plătești comanda când o primești în mâinile tale, nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp, s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și pentru diferiți ani de emitere. Tot ce aveți nevoie este să selectați o universitate, o specialitate, un document și să completați formularul de comandă.

Ce trebuie să faceți dacă găsiți greșeli de scriere și erori într-un document? Răspuns Când primiți un document de la compania noastră de curierat sau poștal, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. În cazul în care se descoperă o greșeală de tipar, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul să nu ridicați diploma, dar trebuie să indicați personal curierului sau în scris defectele constatate prin trimiterea unui e-mail.
Vom corecta documentul cât mai curând posibil și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem clientului prin e-mail o machetă a viitorului document pentru verificarea și aprobarea versiunii finale. Înainte de a trimite documentul prin curier sau poștă, facem, de asemenea, fotografii și videoclipuri suplimentare (inclusiv în lumină ultravioletă), astfel încât să aveți o idee clară despre ce veți primi în final.

Ce ar trebui să fac pentru a comanda o diplomă de la compania dumneavoastră? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați formularul de comandă online de pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă putem trimite un formular de cerere, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi pentru noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica prin telefon toate informațiile lipsă.

Ultimele recenzii

Victor:

Sunt foarte multumit de diploma mea. Mulțumesc. Dacă ai putea învăța și cum să faci pașapoarte, ar fi ideal.

Karina:

Astăzi mi-am primit diploma. Multumesc pentru munca de calitate. Au fost respectate și toate termenele. Cu siguranta te voi recomanda tuturor prietenilor mei.