Calculul razei arcului. Geometria cercului

Problemele privind găsirea ariei unui cerc sunt o parte obligatorie a examenului unificat de stat la matematică. De regulă, mai multe sarcini sunt atribuite acestui subiect în testul de certificare. Toți elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, ar trebui să înțeleagă algoritmul pentru găsirea circumferinței și a ariei unui cerc.

Dacă astfel de sarcini planimetrice vă provoacă dificultăți, vă recomandăm să apelați la portalul educațional Shkolkovo. Cu noi puteți umple golurile în cunoștințe.

Secțiunea corespunzătoare a site-ului prezintă o selecție largă de probleme pentru găsirea circumferinței și a ariei unui cerc, similare cu cele incluse în examenul de stat unificat. După ce a învățat să le execute corect, absolventul va putea face față cu succes examenului.

Momente de bază

Problemele care necesită utilizarea formulelor de suprafață pot fi directe sau inverse. În primul caz, parametrii elementelor figurii sunt cunoscuți. În acest caz, cantitatea necesară este suprafața. În al doilea caz, dimpotrivă, zona este cunoscută și este necesar să se găsească un element al figurii. Algoritmul pentru calcularea răspunsului corect în astfel de sarcini diferă doar în ordinea în care sunt aplicate formulele de bază. De aceea, atunci când se începe rezolvarea unor astfel de probleme, este necesar să se repete materialul teoretic.

Portalul educațional „Shkolkovo” oferă toate informațiile de bază despre subiectul „Găsirea lungimii unui cerc sau arc și a ariei unui cerc”, precum și despre alte subiecte, de exemplu. Specialiștii noștri l-au pregătit și au prezentat-o în cea mai accesibilă formă.

După ce și-au amintit formulele de bază, studenții pot începe să completeze probleme pentru găsirea zonei unui cerc, similare cu cele incluse în examenul de stat unificat, online. Pentru fiecare exercițiu, site-ul oferă o soluție detaliată și răspunsul corect. Dacă este necesar, orice sarcină poate fi salvată în secțiunea „Favorite” pentru a reveni la ea mai târziu și a discuta cu profesorul.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Problema 10 (OGE - 2015)

Pe un cerc cu centrul O, punctele A și B sunt marcate astfel încât ∠ AOB = 18°. Lungimea arcului mai mic AB este 5. Aflați lungimea arcului mai mare al cercului.

Soluţie

∠ AOB = 18°. Întregul cerc este de 360°. Prin urmare ∠ AOB este 18/360 = 1/20 dintr-un cerc.

Aceasta înseamnă că arcul mai mic AB este 1/20 din întregul cerc, deci arcul mai mare este restul, adică. circumferinta 19/20.

1/20 dintr-un cerc corespunde unei lungimi de arc de 5. Atunci lungimea arcului mai mare este 5 * 19 = 95.

Problema 10 (OGE - 2015)

Pe un cerc cu centrul O, punctele A și B sunt marcate astfel încât ∠ AOB = 40°. Lungimea arcului mai mic AB este de 50. Aflați lungimea arcului mai mare de cerc.

Soluţie

∠ AOB = 40°. Întregul cerc este de 360°. Prin urmare ∠ AOB este 40/360 = 1/9 dintr-un cerc.

Aceasta înseamnă că arcul mai mic AB este 1/9 din întregul cerc, deci arcul mai mare este restul, adică. cerc 8/9.

1/9 dintr-un cerc corespunde unei lungimi de arc de 50. Atunci lungimea arcului mai mare este 50*8 = 400.

Raspuns: 400.

Sarcina 10 (GIA - 2014)

Lungimea unei coarde a unui cerc este de 72, iar distanța de la centrul cercului la această coardă este de 27. Aflați diametrul cercului.

Soluţie

Folosind teorema lui Pitagora, din triunghiul dreptunghic AOB obținem:

AO 2 = OB 2 + AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Atunci diametrul este 2R = 2*45 = 90.

Sarcina 10 (GIA - 2014)

Punctul O este centrul cercului pe care se află punctele A, B și C. Se știe că ∠ABC = 134° și ∠OAB = 75°. Găsiți unghiul BCO. Dați răspunsul în grade.

Formula pentru găsirea lungimii unui arc de cerc este destul de simplă și, de foarte multe ori, la examenele importante precum Examenul de stat unificat apar probleme care nu pot fi rezolvate fără utilizarea acestuia. De asemenea, este necesar să-l cunoașteți pentru a trece teste internaționale standardizate, precum SAT și altele.

Care este lungimea arcului de cerc?

Formula arată astfel:

l = πrα / 180°

Care este fiecare element al formulei:

π - numărul Pi (valoare constantă egală cu ≈ 3,14);
r este raza unui cerc dat;
α este mărimea unghiului la care se sprijină arcul (central, neînscris).

După cum puteți vedea, pentru a rezolva problema, r și α trebuie să fie prezente în stare. Fără aceste două mărimi, este imposibil să găsim lungimea arcului.

Cum derivă această formulă și de ce arată așa?

Totul este extrem de ușor. Va deveni mult mai clar dacă puneți 360° la numitor și adăugați un doi la numărător în față. Poti de asemenea α nu-l lasa in fractie, scoate-l si scrie-l cu semnul inmultirii. Acest lucru este foarte posibil, deoarece acest element este în numărător. Atunci viziunea generală va fi astfel:

l = (2πr / 360°) × α

Doar pentru comoditate, am scurtat 2 și 360°. Și acum, dacă te uiți cu atenție, poți vedea o formulă foarte familiară pentru lungimea întregului cerc, și anume - 2πr.Întregul cerc este format din 360°, așa că împărțim măsura rezultată în 360 de părți. Apoi înmulțim cu număr α, adică pentru numărul de „bucăți de plăcintă” de care avem nevoie. Dar toată lumea știe sigur că un număr (adică lungimea întregului cerc) nu poate fi împărțit la un grad. Ce să faci în acest caz? De obicei, de regulă, gradul se contractă cu gradul unghiului central, adică cu α. După aceea, rămân doar cifre, iar la final se obține răspunsul final.

Acest lucru poate explica de ce lungimea arcului de cerc se găsește în acest fel și are această formă.

Un exemplu de problemă de complexitate medie folosind această formulă

Stare: Există un cerc cu o rază de 10 centimetri. Gradul de măsurare a unui unghi central este de 90°. Aflați lungimea arcului de cerc format de acest unghi.

Rezolvare: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Răspuns: l = 5π

De asemenea, este posibil ca în loc de măsurarea gradului, să fie dată o măsură de unghi radian. Sub nicio formă nu trebuie să vă fie frică, pentru că de data aceasta sarcina a devenit mult mai ușoară. Pentru a converti o măsură radian într-o măsură de grade, trebuie să înmulțiți acest număr cu 180° / π. Asta înseamnă că acum putem înlocui α următoarea combinație: m × 180° / π. Unde m este valoarea radianilor. Și apoi 180 și numărul π sunt reduse și se obține o formulă complet simplificată, care arată astfel:

m - măsura în radian a unghiului;
r este raza unui cerc dat.

În primul rând, să înțelegem diferența dintre un cerc și un cerc. Pentru a vedea această diferență, este suficient să luăm în considerare care sunt ambele cifre. Acestea sunt un număr infinit de puncte din plan, situate la o distanță egală de un singur punct central. Dar, dacă cercul este format și din spațiu interior, atunci nu aparține cercului. Se dovedește că un cerc este atât un cerc care îl limitează (cercul(r)), cât și un număr nenumărat de puncte care se află în interiorul cercului.

Pentru orice punct L situat pe cerc, se aplică egalitatea OL=R. (Lungimea segmentului OL este egală cu raza cercului).

Un segment care leagă două puncte dintr-un cerc este al acestuia coardă.

O coardă care trece direct prin centrul unui cerc este diametru acest cerc (D). Diametrul poate fi calculat folosind formula: D=2R

Circumferinţă calculat prin formula: C=2\pi R

Aria unui cerc: S=\pi R^(2)

Arc de cerc se numește acea parte a acesteia care se află între cele două puncte ale sale. Aceste două puncte definesc două arce de cerc. CD-ul de acorduri subtinde două arce: CMD și CLD. Acordurile identice subtind arcuri egale.

Unghiul central Un unghi care se află între două raze se numește.

Lungimea arcului poate fi găsit folosind formula:

Folosind măsurarea gradului: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Folosind măsura radianilor: CD = \alpha R

Diametrul, care este perpendicular pe coardă, împarte coarda și arcele contractate de aceasta în jumătate.

Dacă acordurile AB și CD ale cercului se intersectează în punctul N, atunci produsele segmentelor coardelor separate de punctul N sunt egale între ele.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangent la un cerc

Tangent la un cerc Se obișnuiește să se numească o dreaptă care are un punct comun cu un cerc.

Dacă o linie are două puncte comune, se numește secantă.

Dacă desenați raza la punctul tangent, aceasta va fi perpendiculară pe tangenta la cerc.

Să desenăm două tangente din acest punct la cercul nostru. Se pare că segmentele tangente vor fi egale între ele, iar centrul cercului va fi situat pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct.

AC = CB

Acum să desenăm o tangentă și o secantă la cerc din punctul nostru. Obținem că pătratul lungimii segmentului tangent va fi egal cu produsul întregului segment secant și părții sale exterioare.

AC^(2) = CD \cdot BC

Putem concluziona: produsul unui întreg segment al primei secante și al părții sale externe este egal cu produsul unui întreg segment al celei de-a doua secante și al părții sale externe.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Unghiuri într-un cerc

Măsurile gradelor unghiului central și arcului pe care se sprijină sunt egale.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Unghi înscris este un unghi al cărui vârf este pe un cerc și ale cărui laturi conțin coarde.

Îl puteți calcula știind dimensiunea arcului, deoarece este egal cu jumătate din acest arc.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Pe baza unui diametru, unghi înscris, unghi drept.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt identice.

Unghiurile înscrise care se sprijină pe o coardă sunt identice sau suma lor este egală cu 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Pe același cerc sunt vârfurile triunghiurilor cu unghiuri identice și cu o bază dată.

Un unghi cu un vârf în interiorul cercului și situat între două coarde este identic cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcelor de cerc care sunt conținute în unghiurile date și verticale.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un unghi cu un vârf în afara cercului și situat între două secante este identic cu jumătate din diferența dintre valorile unghiulare ale arcelor de cerc care sunt conținute în interiorul unghiului.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Cerc înscris

Cerc înscris este un cerc tangent la laturile unui poligon.

În punctul în care bisectoarele colțurilor unui poligon se intersectează, se află centrul acestuia.

Este posibil ca un cerc să nu fie înscris în fiecare poligon.

Aria unui poligon cu un cerc înscris se găsește prin formula:

S = pr,

p este semiperimetrul poligonului,

r este raza cercului înscris.

Rezultă că raza cercului înscris este egală cu:

r = \frac(S)(p)

Sumele lungimilor laturilor opuse vor fi identice dacă cercul este înscris într-un patrulater convex. Și invers: un cerc se potrivește într-un patrulater convex dacă sumele lungimilor laturilor opuse sunt identice.

AB + DC = AD + BC

Este posibil să se înscrie un cerc în oricare dintre triunghiuri. Doar unul singur. În punctul în care bisectoarele unghiurilor interne ale figurii se intersectează, centrul acestui cerc înscris se va afla.

Raza cercului înscris se calculează cu formula:

r = \frac(S)(p),

unde p = \frac(a + b + c)(2)

Cerc circular

Dacă un cerc trece prin fiecare vârf al unui poligon, atunci un astfel de cerc este de obicei numit descris despre un poligon.

În punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor acestei figuri va fi centrul cercului circumferitor.

Raza poate fi găsită calculând-o ca raza cercului care este circumscris triunghiului definit de oricare 3 vârfuri ale poligonului.

Există următoarea condiție: un cerc poate fi descris în jurul unui patrulater numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

În jurul oricărui triunghi poți descrie un cerc și doar unul. Centrul unui astfel de cerc va fi situat în punctul în care bisectoarele perpendiculare ale laturilor triunghiului se intersectează.