L'aire de la pyramide à la base est un rectangle. Pyramide

Existe-t-il une formule générale ? Non, en général, non. Il suffit de rechercher les zones des faces latérales et de les résumer.

La formule peut s'écrire pour prisme droit :

Où est le périmètre de la base.

Mais il est quand même bien plus facile d’additionner tous les domaines dans chaque cas particulier que de mémoriser des formules supplémentaires. Par exemple, calculons la surface totale d'un prisme hexagonal régulier.

Toutes les faces latérales sont des rectangles. Moyens.

Cela a déjà été montré lors du calcul du volume.

On obtient donc :

Superficie de la pyramide

La règle générale s'applique également à la pyramide :

Calculons maintenant la superficie des pyramides les plus populaires.

Superficie d'une pyramide triangulaire régulière

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral égal. Nous devons trouver et.

Rappelons-nous maintenant que

C'est l'aire d'un triangle régulier.

Et rappelons-nous comment rechercher cette zone. Nous utilisons la formule de l'aire :

Pour nous, « » c'est ça, et « » c'est aussi ça, hein.

Maintenant, trouvons-le.

En utilisant la formule de l’aire de base et le théorème de Pythagore, nous trouvons

Attention: si vous avez un tétraèdre régulier (c'est-à-dire), alors la formule ressemble à ceci :

Superficie d'une pyramide quadrangulaire régulière

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral égal.

La base est un carré, et c'est pourquoi.

Reste à trouver l'aire de la face latérale

Superficie d'une pyramide hexagonale régulière.

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral.

Comment trouver? Un hexagone est constitué exactement de six triangles réguliers identiques. Nous avons déjà recherché l'aire d'un triangle régulier lors du calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire régulière ; nous utilisons ici la formule que nous avons trouvée.

Eh bien, nous avons déjà cherché deux fois la zone de la face latérale.

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Pyramide triangulaire est un polyèdre dont la base est un triangle régulier.

Dans une telle pyramide, les bords de la base et les bords des côtés sont égaux les uns aux autres. En conséquence, l'aire des faces latérales est obtenue à partir de la somme des aires de trois triangles identiques. Vous pouvez trouver la surface latérale d'une pyramide régulière à l'aide de la formule. Et vous pouvez effectuer le calcul plusieurs fois plus rapidement. Pour ce faire, vous devez appliquer la formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide triangulaire :

où p est le périmètre de la base dont tous les côtés sont égaux à b, a est l'apothème abaissé du haut jusqu'à cette base. Considérons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.

Problème : Soit une pyramide régulière. Le côté du triangle à la base est b = 4 cm. L'apothème de la pyramide est a = 7 cm. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Puisque, selon les conditions du problème, on connaît les longueurs de tous les éléments nécessaires, on trouvera le périmètre. Nous rappelons que dans un triangle régulier, tous les côtés sont égaux et, par conséquent, le périmètre est calculé par la formule :

Remplaçons les données et trouvons la valeur :

Maintenant, connaissant le périmètre, nous pouvons calculer la surface latérale :

Pour appliquer la formule de l'aire d'une pyramide triangulaire afin de calculer la valeur totale, vous devez trouver l'aire de la base du polyèdre. Pour ce faire, utilisez la formule :

La formule pour l'aire de la base d'une pyramide triangulaire peut être différente. Il est possible d'utiliser n'importe quel calcul de paramètres pour un chiffre donné, mais le plus souvent cela n'est pas obligatoire. Considérons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide triangulaire.

Problème : Dans une pyramide régulière, le côté du triangle à la base est a = 6 cm Calculez l'aire de la base.
Pour calculer, nous avons seulement besoin de la longueur du côté du triangle régulier situé à la base de la pyramide. Remplaçons les données dans la formule :

Très souvent, vous devez trouver l'aire totale d'un polyèdre. Pour ce faire, vous devrez additionner la superficie de la surface latérale et de la base.

Considérons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.

Problème : Soit une pyramide triangulaire régulière. Le côté de la base est b = 4 cm, l'apothème est a = 6 cm. Trouvez l'aire totale de la pyramide.
Tout d'abord, trouvons l'aire de la surface latérale à l'aide de la formule déjà connue. Calculons le périmètre :

Remplacez les données dans la formule :
Trouvons maintenant l'aire de la base :
Connaissant l'aire de la base et de la surface latérale, on trouve l'aire totale de la pyramide :

Lors du calcul de l'aire d'une pyramide régulière, il ne faut pas oublier que la base est un triangle régulier et que de nombreux éléments de ce polyèdre sont égaux les uns aux autres.

Avant d’étudier les questions concernant cette figure géométrique et ses propriétés, vous devez comprendre certains termes. Lorsqu’une personne entend parler d’une pyramide, elle imagine d’immenses bâtiments en Égypte. Voilà à quoi ressemblent les plus simples. Mais ils existent sous différents types et formes, ce qui signifie que la formule de calcul des formes géométriques sera différente.

Pyramide - figure géométrique, désignant et représentant plusieurs visages. Essentiellement, il s'agit du même polyèdre, à la base duquel se trouve un polygone, et sur les côtés se trouvent des triangles qui se connectent en un point - le sommet. Le chiffre se décline en deux types principaux :

• correct;
• tronqué.

Dans le premier cas, la base est un polygone régulier. Ici toutes les surfaces latérales sont égales entre eux et la figure elle-même plaira à l'œil d'un perfectionniste.

Dans le second cas, il y a deux bases - une grande tout en bas et une petite entre le haut, reprenant la forme de la base principale. En d’autres termes, une pyramide tronquée est un polyèdre dont la section transversale est parallèle à la base.

Termes et symboles

Mots clés:

• Triangle régulier (équilatéral)- une figure avec trois angles égaux et côtés égaux. Dans ce cas, tous les angles sont de 60 degrés. La figure est le plus simple des polyèdres réguliers. Si cette figure se trouve à la base, alors un tel polyèdre sera appelé triangulaire régulier. Si la base est un carré, la pyramide sera appelée pyramide quadrangulaire régulière.
• Sommet– le point le plus élevé où les bords se rejoignent. La hauteur du sommet est formée par une ligne droite s’étendant du sommet à la base de la pyramide.
• Bord– un des plans du polygone. Elle peut être en forme de triangle dans le cas d'une pyramide triangulaire, ou en forme de trapèze pour une pyramide tronquée.
• Section- une figure plate formée à la suite d'une dissection. Il ne faut pas la confondre avec une section, puisqu'une section montre également ce qu'il y a derrière la section.
• Apothème- un segment tiré du sommet de la pyramide jusqu'à sa base. C'est aussi la hauteur du visage où se situe le deuxième point de hauteur. Cette définition n'est valable que par rapport à un polyèdre régulier. Par exemple, s’il ne s’agit pas d’une pyramide tronquée, alors le visage sera un triangle. Dans ce cas, la hauteur de ce triangle deviendra l’apothème.

Formules de superficie

Trouver la surface latérale de la pyramide tout type peut être réalisé de plusieurs manières. Si la figure n'est pas symétrique et est un polygone avec des côtés différents, alors dans ce cas, il est plus facile de calculer la superficie totale à travers la totalité de toutes les surfaces. En d’autres termes, vous devez calculer la surface de chaque visage et les additionner.

Selon les paramètres connus, des formules de calcul d'un carré, d'un trapèze, d'un quadrilatère arbitraire, etc. peuvent être nécessaires. Les formules elles-mêmes dans différents cas aura également des différences.

Dans le cas d’une figure régulière, trouver la zone est beaucoup plus facile. Il suffit de connaître quelques paramètres clés. Dans la plupart des cas, des calculs sont requis spécifiquement pour ces chiffres. Par conséquent, les formules correspondantes seront données ci-dessous. Sinon, vous devrez tout écrire sur plusieurs pages, ce qui ne fera que vous dérouter et vous embrouiller.

Formule de base pour le calcul La surface latérale d'une pyramide régulière aura la forme suivante :

S=½ Pa (P est le périmètre de la base et est l'apothème)

Regardons un exemple. Le polyèdre a une base avec des segments A1, A2, A3, A4, A5, et tous sont égaux à 10 cm. Que l'apothème soit égal à 5 ​​cm. Vous devez d'abord trouver le périmètre. Puisque les cinq faces de la base sont identiques, vous pouvez la trouver comme ceci : P = 5 * 10 = 50 cm. Ensuite, nous appliquons la formule de base : S = ½ * 50 * 5 = 125 cm au carré.

Surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière le plus simple à calculer. La formule ressemble à ceci :

S =½* ab *3, où a est l'apothème, b est la face de la base. Le facteur trois signifie ici le nombre de faces de la base, et la première partie est la surface de la surface latérale. Regardons un exemple. Étant donné une figure avec un apothème de 5 cm et un bord de base de 8 cm, on calcule : S = 1/2*5*8*3=60 cm au carré.

Surface latérale d'une pyramide tronquée C'est un peu plus difficile à calculer. La formule ressemble à ceci : S =1/2*(p_01+ p_02)*a, où p_01 et p_02 sont les périmètres des bases, et est l'apothème. Regardons un exemple. Disons que pour une figure quadrangulaire les dimensions des côtés des bases sont de 3 et 6 cm, et l'apothème est de 4 cm.

Ici, vous devez d'abord trouver les périmètres des bases : р_01 =3*4=12 cm ; р_02=6*4=24 cm. Il reste à substituer les valeurs dans la formule principale et on obtient : S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm au carré.

Ainsi, vous pouvez trouver la surface latérale d'une pyramide régulière de toute complexité. Il faut être prudent et ne pas confondre ces calculs avec l'aire totale de l'ensemble du polyèdre. Et si vous avez encore besoin de le faire, calculez simplement l'aire de la plus grande base du polyèdre et ajoutez-la à l'aire de la surface latérale du polyèdre.

Vidéo

Cette vidéo vous aidera à consolider les informations sur la façon de trouver la surface latérale de différentes pyramides.

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Lors de la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques, les étudiants doivent systématiser leurs connaissances en algèbre et en géométrie. Je voudrais combiner toutes les informations connues, par exemple sur la façon de calculer l'aire d'une pyramide. De plus, depuis la base et les bords latéraux jusqu'à toute la surface. Si la situation avec les faces latérales est claire, puisqu'il s'agit de triangles, alors la base est toujours différente.

Comment trouver l'aire de la base de la pyramide ?

Il peut s'agir d'absolument n'importe quelle figure : d'un triangle arbitraire à un n-gon. Et cette base, outre la différence du nombre d'angles, peut être une figure régulière ou irrégulière. Dans les tâches de l'examen d'État unifié qui intéressent les écoliers, il n'y a que des tâches avec des chiffres corrects à la base. Par conséquent, nous ne parlerons que d'eux.

Triangle régulier

C'est-à-dire équilatéral. Celui dans lequel tous les côtés sont égaux et sont désignés par la lettre « a ». Dans ce cas, l'aire de la base de la pyramide est calculée par la formule :

S = (une 2 * √3) / 4.

Carré

La formule pour calculer son aire est la plus simple, ici « a » est encore le côté :

N-gon régulier arbitraire

Le côté d'un polygone a la même notation. Pour le nombre d'angles, la lettre latine n est utilisée.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Que faire lors du calcul de la surface latérale et totale ?

Puisque la base est une figure régulière, toutes les faces de la pyramide sont égales. De plus, chacun d'eux est un triangle isocèle, puisque les bords latéraux sont égaux. Ensuite, afin de calculer l'aire latérale de la pyramide, vous aurez besoin d'une formule constituée de la somme de monômes identiques. Le nombre de termes est déterminé par le nombre de côtés de la base.

L'aire d'un triangle isocèle est calculée par la formule dans laquelle la moitié du produit de la base est multipliée par la hauteur. Cette hauteur dans la pyramide est appelée apothème. Sa désignation est « A ». La formule générale de la surface latérale est la suivante :

S = ½ P*A, où P est le périmètre de la base de la pyramide.

Il existe des situations où les côtés de la base ne sont pas connus, mais les bords latéraux (c) et l'angle plat à son sommet (α) sont donnés. Ensuite, vous devez utiliser la formule suivante pour calculer l'aire latérale de la pyramide :

S = n/2 * dans 2 sin α .

Tâche n°1

Condition. Trouvez l'aire totale de la pyramide si sa base a un côté de 4 cm et que l'apothème a une valeur de √3 cm.

Solution. Vous devez commencer par calculer le périmètre de la base. Puisqu'il s'agit d'un triangle régulier, alors P = 3*4 = 12 cm. Puisque l'apothème est connu, on peut immédiatement calculer l'aire de toute la surface latérale : ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pour le triangle à la base, vous obtenez la valeur d'aire suivante : (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pour déterminer la surface entière, vous devrez additionner les deux valeurs résultantes : 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Répondre. 10√3cm2.

Problème n°2

Condition. Il y a une pyramide quadrangulaire régulière. La longueur du côté de base est de 7 mm, le bord latéral est de 16 mm. Il faut connaître sa superficie.

Solution. Le polyèdre étant quadrangulaire et régulier, sa base est un carré. Une fois que vous connaîtrez l'aire de la base et des faces latérales, vous pourrez calculer l'aire de la pyramide. La formule du carré est donnée ci-dessus. Et pour les faces latérales, tous les côtés du triangle sont connus. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour calculer leurs aires.

Les premiers calculs sont simples et conduisent au nombre suivant : 49 mm 2. Pour la deuxième valeur, vous devrez calculer le demi-périmètre : (7 + 16*2) : 2 = 19,5 mm. Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle isocèle : √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Il n'y a que quatre triangles de ce type, donc lors du calcul du nombre final, vous devrez le multiplier par 4.

Il s'avère : 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Répondre. La valeur souhaitée est de 267,576 mm 2.

Problème n°3

Condition. Pour une pyramide quadrangulaire régulière, vous devez calculer l’aire. Le côté du carré est connu pour mesurer 6 cm et la hauteur est de 4 cm.

Solution. Le moyen le plus simple est d'utiliser la formule avec le produit du périmètre et de l'apothème. La première valeur est facile à trouver. Le second est un peu plus compliqué.

Nous devrons nous souvenir du théorème de Pythagore et considérer qu'il est formé par la hauteur de la pyramide et l'apothème, qui est l'hypoténuse. La deuxième branche est égale à la moitié du côté du carré, puisque la hauteur du polyèdre tombe en son milieu.

L'apothème requis (hypoténuse d'un triangle rectangle) est égal à √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Vous pouvez maintenant calculer la valeur requise : ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Répondre. 96cm2.

Problème n°4

Condition. Le bon côté est indiqué : les côtés de sa base mesurent 22 mm, les bords latéraux mesurent 61 mm. Quelle est la surface latérale de ce polyèdre ?

Solution. Le raisonnement est le même que celui décrit dans la tâche n°2. Seulement, on leur a donné une pyramide avec un carré à la base, et maintenant c'est un hexagone.

Tout d'abord, la surface de base est calculée à l'aide de la formule ci-dessus : (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Vous devez maintenant connaître le demi-périmètre d'un triangle isocèle, qui est la face latérale. (22+61*2) :2 = 72 cm. Il ne reste plus qu'à utiliser la formule de Héron pour calculer l'aire de chacun de ces triangles, puis à la multiplier par six et à l'ajouter à celle obtenue pour la base.

Calculs utilisant la formule de Heron : √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calculs qui donneront la surface latérale : 660 * 6 = 3960 cm 2. Reste à les additionner pour connaître la surface entière : 5217,47≈5217 cm 2.

Répondre. La base mesure 726√3 cm 2, la surface latérale est de 3960 cm 2, la surface totale est de 5217 cm 2.

L'aire totale de la surface latérale d'une pyramide est constituée de la somme des aires de ses faces latérales.

Dans une pyramide quadrangulaire, il existe deux types de faces : un quadrilatère à la base et des triangles avec un sommet commun, qui forment la surface latérale.
Vous devez d’abord calculer l’aire des faces latérales. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de l'aire d'un triangle, ou vous pouvez également utiliser la formule de l'aire d'une pyramide quadrangulaire (uniquement si le polyèdre est régulier). Si la pyramide est régulière et que la longueur de l'arête a de la base et l'apothème h qui y est dessiné sont connus, alors :

Si, selon les conditions, la longueur de l'arête c d'une pyramide régulière et la longueur du côté de la base a sont données, alors vous pouvez trouver la valeur à l'aide de la formule suivante :

Si la longueur du bord à la base et l'angle aigu opposé au sommet sont donnés, alors l'aire de la surface latérale peut être calculée par le rapport du carré du côté a au double cosinus de la moitié du angle α :

Considérons un exemple de calcul de la surface d'une pyramide quadrangulaire passant par le bord latéral et le côté de la base.

Problème : Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Longueur du bord b = 7 cm, longueur du côté de base a = 4 cm Remplacez les valeurs données dans la formule :

Nous avons montré des calculs de l'aire d'une face latérale pour une pyramide régulière. Respectivement. Pour trouver l'aire de toute la surface, vous devez multiplier le résultat par le nombre de faces, c'est-à-dire par 4. Si la pyramide est arbitraire et que ses faces ne sont pas égales les unes aux autres, alors l'aire doit être calculée pour chaque côté individuel. Si la base est un rectangle ou un parallélogramme, il convient de rappeler leurs propriétés. Les côtés de ces figures sont parallèles deux à deux, et par conséquent les faces de la pyramide seront également identiques deux à deux.
La formule de l'aire de la base d'une pyramide quadrangulaire dépend directement du quadrilatère qui se trouve à la base. Si la pyramide est correcte, alors l'aire de la base est calculée à l'aide de la formule, si la base est un losange, vous devrez alors vous rappeler comment elle se trouve. S'il y a un rectangle à la base, trouver son aire sera assez simple. Il suffit de connaître les longueurs des côtés de la base. Considérons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide quadrangulaire.

Problème : Soit une pyramide à la base de laquelle se trouve un rectangle de côtés a = 3 cm, b = 5 cm. Un apothème est abaissé du haut de la pyramide sur chacun des côtés. h-a =4 cm, h-b =6 cm Le sommet de la pyramide se trouve sur la même ligne que le point d'intersection des diagonales. Trouvez l'aire totale de la pyramide.
La formule pour l'aire d'une pyramide quadrangulaire se compose de la somme des aires de toutes les faces et de l'aire de la base. Tout d'abord, trouvons l'aire de la base :


Examinons maintenant les côtés de la pyramide. Ils sont identiques par paires, car la hauteur de la pyramide coupe le point d'intersection des diagonales. Autrement dit, dans notre pyramide, il y a deux triangles avec une base a et une hauteur h-a, ainsi que deux triangles avec une base b et une hauteur h-b. Trouvons maintenant l'aire du triangle en utilisant la formule bien connue :


Faisons maintenant un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide quadrangulaire. Dans notre pyramide avec un rectangle à la base, la formule ressemblerait à ceci :