Formule pour trouver l'aire d'un cylindre. Exemples de calcul de l'aire d'un cylindre

Superficie d'un cylindre. Dans cet article, nous examinerons les tâches liées à la surface. Le blog a déjà couvert des tâches avec un corps de rotation tel qu'un cône. Un cylindre appartient également aux corps de rotation. Que faut-il savoir sur la surface d'un cylindre ? Regardons l'évolution du cylindre :

Les bases supérieure et inférieure sont deux cercles égaux :

La surface latérale est un rectangle. De plus, un côté de ce rectangle est égal à la hauteur du cylindre, et l'autre est égal à la circonférence de la base. Je vous rappelle que la circonférence d'un cercle vaut :

Ainsi, la formule de la surface d’un cylindre est :

*Pas besoin d'apprendre cette formule ! Il suffit de connaître les formules pour l'aire d'un cercle et la longueur de sa circonférence, vous pouvez alors toujours écrire la formule spécifiée. Le comprendre est important ! Considérons les tâches :

La circonférence de la base du cylindre est de 3. La surface latérale est de 6. Trouvez la hauteur et la surface du cylindre (supposons que Pi soit 3,14 et arrondissez le résultat au dixième le plus proche).

Surface totale du cylindre :

La circonférence de la base et la surface latérale du cylindre sont données. C'est-à-dire qu'on nous donne l'aire d'un rectangle et un de ses côtés, il faut trouver l'autre côté (c'est la hauteur du cylindre) :

Le rayon est requis et nous pouvons ensuite trouver la zone spécifiée.

La circonférence de la base est égale à trois, alors on écrit :

Ainsi

En arrondissant au dixième le plus proche, nous obtenons 7,4.

Réponse : h = 2 ; S = 7,4

La surface latérale du cylindre est de 72Pi et le diamètre de la base est de 9. Trouvez la hauteur du cylindre.

Moyens

Réponse : 8

La surface latérale du cylindre est de 64Pi et la hauteur est de 8. Trouvez le diamètre de la base.

La surface latérale du cylindre se trouve par la formule :

Le diamètre est égal à deux rayons, ce qui signifie :

Réponse : 8

27058. Le rayon de la base du cylindre est 2 et la hauteur est 3. Trouvez la surface latérale du cylindre divisée par Pi.

27133. La circonférence de la base du cylindre est de 3, la hauteur est de 2. Trouvez l'aire de la surface latérale du cylindre.

C'est un corps géométrique délimité par deux plans parallèles et une surface cylindrique.

Le cylindre se compose d'une surface latérale et de deux bases. La formule pour la surface d'un cylindre comprend un calcul séparé de la surface de la base et de la surface latérale. Puisque les bases du cylindre sont égales, sa surface totale sera calculée par la formule :

Nous considérerons un exemple de calcul de l'aire d'un cylindre après avoir connu toutes les formules nécessaires. Nous avons d’abord besoin de la formule pour l’aire de la base d’un cylindre. Puisque la base du cylindre est un cercle, il faudra appliquer :
Nous rappelons que dans ces calculs, le nombre constant Π = 3,1415926 est utilisé, qui est calculé comme le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Ce nombre est une constante mathématique. Nous verrons également un exemple de calcul de l'aire de la base d'un cylindre un peu plus tard.

Surface côté cylindre

La formule de l'aire de la surface latérale d'un cylindre est le produit de la longueur de la base et de sa hauteur :

Examinons maintenant un problème dans lequel nous devons calculer la surface totale d'un cylindre. Dans la figure donnée, la hauteur est h = 4 cm, r = 2 cm. Trouvons l'aire totale du cylindre.
Tout d'abord, calculons l'aire des bases :
Regardons maintenant un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'un cylindre. Une fois développé, il représente un rectangle. Sa superficie est calculée à l'aide de la formule ci-dessus. Remplaçons-y toutes les données :
L'aire totale d'un cercle est la somme du double de l'aire de la base et du côté :

Ainsi, en utilisant les formules de l'aire des bases et de la surface latérale de la figure, nous avons pu trouver la surface totale du cylindre.
La section axiale du cylindre est un rectangle dont les côtés sont égaux à la hauteur et au diamètre du cylindre.

La formule de la section axiale d'un cylindre est dérivée de la formule de calcul :

Il existe un grand nombre de problèmes liés au cylindre. Vous devez y trouver le rayon et la hauteur du corps ou le type de sa section. De plus, vous devez parfois calculer l'aire d'un cylindre et son volume.

Quel corps est un cylindre ?

Dans le programme scolaire, un cylindre circulaire, c'est-à-dire celui à la base, est étudié. Mais l’aspect elliptique de cette figure se distingue également. D'après le nom, il est clair que sa base sera une ellipse ou un ovale.

Le cylindre a deux bases. Ils sont égaux les uns aux autres et sont reliés par des segments qui combinent les points correspondants des bases. On les appelle les générateurs du cylindre. Tous les générateurs sont parallèles les uns aux autres et égaux. Ils constituent la surface latérale du corps.

En général, un cylindre est un corps incliné. Si les génératrices font un angle droit avec les bases, alors on parle de figure droite.

Il est intéressant de noter qu’un cylindre circulaire est un corps de révolution. Il est obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.

Principaux éléments du cylindre

Les principaux éléments du cylindre ressemblent à ceci.

1. Hauteur. C'est la distance la plus courte entre les bases du cylindre. Si elle est droite, alors la hauteur coïncide avec la génératrice.
2. Rayon. Coïncide avec celui qui peut être dessiné à la base.
3. Axe. Il s'agit d'une ligne droite contenant les centres des deux bases. L'axe est toujours parallèle à tous les générateurs. Dans un cylindre droit, il est perpendiculaire aux bases.
4. Section axiale. Il se forme lorsqu'un cylindre coupe un plan contenant un axe.
5. Plan tangent. Elle passe par l'une des génératrices et est perpendiculaire à la section axiale qui passe par cette génératrice.

Comment un cylindre relié à un prisme est-il inscrit ou décrit autour de lui ?

Parfois, il existe des problèmes dans lesquels vous devez calculer l'aire d'un cylindre, mais certains éléments du prisme associé sont connus. Quel est le rapport entre ces chiffres ?

Si un prisme est inscrit dans un cylindre, alors ses bases sont des polygones égaux. De plus, ils sont inscrits dans les bases correspondantes du cylindre. Les bords latéraux du prisme coïncident avec les génératrices.

Le prisme décrit possède à sa base des polygones réguliers. Ils sont décrits autour des cercles du cylindre, qui sont ses bases. Les plans qui contiennent les faces du prisme touchent le cylindre le long de leurs génératrices.

Sur la zone de la surface latérale et de la base d'un cylindre circulaire droit

Si vous déballez la surface latérale, vous obtiendrez un rectangle. Ses côtés coïncideront avec la génératrice et la circonférence de la base. Par conséquent, l'aire latérale du cylindre sera égale au produit de ces deux quantités. Si vous écrivez la formule, vous obtenez ce qui suit :

Côté S = l * n,

où n est le générateur, l est la circonférence.

De plus, le dernier paramètre est calculé à l'aide de la formule :

l = 2 π * r,

ici r est le rayon du cercle, π est le nombre « pi » égal à 3,14.

Puisque la base est un cercle, son aire est calculée à l’aide de l’expression suivante :

S principal = π * r 2 .

Sur l'aire de toute la surface d'un cylindre circulaire droit

Puisqu’il est formé de deux bases et d’une surface latérale, il faut additionner ces trois quantités. C'est-à-dire que la surface totale du cylindre sera calculée par la formule :

Étage S = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Il est souvent écrit sous une forme différente :

Étage S = 2 π * r (n + r).

Sur les aires d'un cylindre circulaire incliné

Quant aux bases, toutes les formules sont les mêmes, car ce sont toujours des cercles. Mais la surface latérale ne donne plus de rectangle.

Pour calculer l'aire de la surface latérale d'un cylindre incliné, vous devrez multiplier les valeurs de la génératrice et le périmètre de la section, qui sera perpendiculaire à la génératrice sélectionnée.

La formule ressemble à ceci :

Côté S = x * P,

où x est la longueur de la génératrice du cylindre, P est le périmètre de la section.

D'ailleurs, il est préférable de choisir une section telle qu'elle forme une ellipse. Les calculs de son périmètre seront alors simplifiés. La longueur de l'ellipse est calculée à l'aide d'une formule qui donne une réponse approximative. Mais cela suffit souvent pour les tâches d'un cursus scolaire :

l = π * (une + b),

où « a » et « b » sont les demi-axes de l'ellipse, c'est-à-dire la distance entre le centre et ses points les plus proches et les plus éloignés.

L'aire de toute la surface doit être calculée à l'aide de l'expression suivante :

Étage S = 2 π * r 2 + x * R.

Quelles sont les sections d’un cylindre circulaire droit ?

Lorsqu'une section passe par un axe, son aire est déterminée comme le produit de la génératrice et du diamètre de la base. Cela s'explique par le fait qu'il a la forme d'un rectangle dont les côtés coïncident avec les éléments désignés.

Pour trouver l'aire de la section transversale d'un cylindre parallèle à celle axiale, vous aurez également besoin d'une formule pour un rectangle. Dans cette situation, l'un de ses côtés coïncidera toujours avec la hauteur et l'autre sera égal à la corde de la base. Cette dernière coïncide avec la ligne de coupe le long de la base.

Lorsque la section est perpendiculaire à l’axe, elle ressemble à un cercle. De plus, son aire est la même que celle de la base de la figure.

Il est également possible de faire une intersection selon un certain angle par rapport à l'axe. Ensuite, la section transversale donne lieu à un ovale ou à une partie de celui-ci.

Exemples de problèmes

Tâche n°1.Étant donné un cylindre droit dont l'aire de base est de 12,56 cm 2 . Il faut calculer la surface totale du cylindre si sa hauteur est de 3 cm.

Solution. Il est nécessaire d'utiliser la formule de l'aire totale d'un cylindre droit circulaire. Mais il lui manque des données, à savoir le rayon de la base. Mais l'aire du cercle est connue. Il est facile de calculer le rayon à partir de là.

Il s'avère être égal à la racine carrée du quotient, qui est obtenu en divisant l'aire de la base par pi. Après avoir divisé 12,56 par 3,14, le résultat est 4. La racine carrée de 4 est 2. Par conséquent, le rayon aura cette valeur.

Réponse : S plancher = 50,24 cm 2.

Tâche n°2. Un cylindre d'un rayon de 5 cm est coupé par un plan parallèle à l'axe. La distance entre la section et l'axe est de 3 cm. La hauteur du cylindre est de 4 cm. Vous devez trouver l'aire de la section transversale.

Solution. La forme de la section transversale est rectangulaire. L'un de ses côtés coïncide avec la hauteur du cylindre et l'autre est égal à la corde. Si la première quantité est connue, alors la seconde doit être trouvée.

Pour ce faire, des constructions supplémentaires doivent être réalisées. A la base, nous dessinons deux segments. Ils commenceront tous les deux au centre du cercle. Le premier se terminera au centre de la corde et sera égal à la distance connue à l'axe. La seconde est à la fin de l'accord.

Vous obtiendrez un triangle rectangle. L'hypoténuse et l'une des jambes y sont connues. L'hypoténuse coïncide avec le rayon. La deuxième jambe est égale à la moitié de la corde. La jambe inconnue multipliée par 2 donnera la longueur de corde souhaitée. Calculons sa valeur.

Afin de trouver la jambe inconnue, vous devrez mettre au carré l’hypoténuse et la jambe connue, soustraire la seconde de la première et prendre la racine carrée. Les carrés sont 25 et 9. Leur différence est 16. Après avoir pris la racine carrée, il en reste 4. C'est la jambe souhaitée.

L'accord sera égal à 4 * 2 = 8 (cm). Vous pouvez maintenant calculer la surface de la section transversale : 8 * 4 = 32 (cm 2).

Réponse : La croix S est égale à 32 cm 2.

Tâche n°3. Il est nécessaire de calculer la section axiale du cylindre. On sait qu'un cube d'une arête de 10 cm y est inscrit.

Solution. La section axiale du cylindre coïncide avec un rectangle qui passe par les quatre sommets du cube et contient les diagonales de ses bases. Le côté du cube est la génératrice du cylindre et la diagonale de la base coïncide avec le diamètre. Le produit de ces deux quantités donnera l’aire que vous devez connaître dans le problème.

Pour trouver le diamètre, vous devrez savoir que la base du cube est un carré et que sa diagonale forme un triangle rectangle équilatéral. Son hypoténuse est la diagonale souhaitée de la figure.

Pour le calculer, vous aurez besoin de la formule du théorème de Pythagore. Vous devez mettre le côté du cube au carré, le multiplier par 2 et prendre la racine carrée. Dix à la puissance deux font cent. Multiplié par 2, cela fait deux cents. La racine carrée de 200 est 10√2.

La section est à nouveau un rectangle de côtés 10 et 10√2. Sa superficie peut être facilement calculée en multipliant ces valeurs.

Répondre. Section S = 100√2 cm2.

Le nom de la science « géométrie » se traduit par « mesure de la terre ». Son origine est le fruit des efforts des tout premiers gestionnaires fonciers de l’Antiquité. Et cela s'est passé ainsi : lors des crues du Nil sacré, les cours d'eau ont parfois emporté les limites des parcelles des agriculteurs, et les nouvelles limites pouvaient ne pas coïncider avec les anciennes. Les impôts étaient payés par les paysans au trésor du pharaon proportionnellement à la taille de la parcelle de terre. Des personnes spéciales ont été impliquées dans la mesure des superficies de terres arables à l'intérieur des nouvelles limites après le déversement. C'est à la suite de leurs activités qu'une nouvelle science est née, développée dans la Grèce antique. C'est là qu'il reçut son nom et acquit une apparence presque moderne. Par la suite, le terme est devenu un nom international pour la science des figures plates et tridimensionnelles.

La planimétrie est une branche de la géométrie traitant de l'étude des figures planes. Une autre branche de la science est la stéréométrie, qui examine les propriétés des figures spatiales (volumétriques). Ces figures incluent celle décrite dans cet article - un cylindre.

Il existe de nombreux exemples de présence d’objets cylindriques dans la vie quotidienne. Presque toutes les pièces rotatives - arbres, bagues, tourillons, axes, etc. - ont une forme cylindrique (beaucoup moins souvent conique). Le cylindre est également largement utilisé dans la construction : tours, colonnes de support, colonnes décoratives. Et aussi de la vaisselle, certains types d'emballages, des tuyaux de différents diamètres. Et enfin, les célèbres chapeaux, devenus depuis longtemps un symbole de l'élégance masculine. La liste se rallonge de plus en plus.

Définition d'un cylindre comme figure géométrique

Un cylindre (cylindre circulaire) est généralement appelé une figure composée de deux cercles qui, si vous le souhaitez, sont combinés par translation parallèle. Ces cercles sont les bases du cylindre. Mais les lignes (segments droits) reliant les points correspondants sont appelées « générateurs ».

Il est important que les bases du cylindre soient toujours égales (si cette condition n'est pas remplie, alors nous avons un tronc de cône, autre chose, mais pas un cylindre) et soient dans des plans parallèles. Les segments reliant les points correspondants sur les cercles sont parallèles et égaux.

L'ensemble d'un nombre infini d'éléments formant n'est rien d'autre que la surface latérale du cylindre - l'un des éléments d'une figure géométrique donnée. Son autre élément important sont les cercles évoqués ci-dessus. On les appelle des bases.

Types de cylindres

Le type de cylindre le plus simple et le plus courant est circulaire. Il est formé de deux cercles réguliers faisant office de bases. Mais à leur place, il peut y avoir d'autres personnages.

Les bases des cylindres peuvent former (en plus des cercles) des ellipses et autres figures fermées. Mais le cylindre n'a pas nécessairement une forme fermée. Par exemple, la base d'un cylindre peut être une parabole, une hyperbole ou une autre fonction ouverte. Un tel cylindre sera ouvert ou déployé.

Selon l'angle d'inclinaison des cylindres formant les socles, ceux-ci peuvent être droits ou inclinés. Pour un cylindre droit, les génératrices sont strictement perpendiculaires au plan de la base. Si cet angle est différent de 90°, le cylindre est incliné.

Qu'est-ce qu'une surface de révolution

Le cylindre circulaire droit est sans aucun doute la surface de rotation la plus couramment utilisée en ingénierie. Parfois, pour des raisons techniques, des surfaces coniques, sphériques et certains autres types de surfaces sont utilisées, mais 99 % de tous les arbres, axes, etc. sont réalisés sous forme de cylindres. Afin de mieux comprendre ce qu’est une surface de révolution, nous pouvons considérer comment le cylindre lui-même est formé.

Disons qu'il y a une certaine ligne droite un, situé verticalement. ABCD est un rectangle dont l'un des côtés (segment AB) se trouve sur une ligne un. Si nous faisons tourner un rectangle autour d'une ligne droite, comme le montre la figure, le volume qu'il occupera pendant la rotation sera notre corps de révolution - un cylindre circulaire droit de hauteur H = AB = DC et de rayon R = AD = BC.

Dans ce cas, en faisant tourner la figure - un rectangle - on obtient un cylindre. En faisant tourner un triangle, vous pouvez obtenir un cône, en faisant tourner un demi-cercle - une boule, etc.

Surface du cylindre

Afin de calculer l'aire d'un cylindre circulaire droit ordinaire, il est nécessaire de calculer les aires des bases et des surfaces latérales.

Voyons d’abord comment la surface latérale est calculée. C'est le produit de la circonférence du cylindre et de la hauteur du cylindre. La circonférence, quant à elle, est égale au double du produit du nombre universel P. par le rayon du cercle.

On sait que l'aire d'un cercle est égale au produit P. par rayon carré. Ainsi, en additionnant les formules de l'aire de la surface latérale avec la double expression de l'aire de la base (il y en a deux) et en effectuant des transformations algébriques simples, on obtient l'expression finale pour déterminer l'aire de la surface du cylindre.

Déterminer le volume d'une figure

Le volume d'un cylindre est déterminé selon le schéma standard : la surface de la base est multipliée par la hauteur.

Ainsi, la formule finale ressemble à ceci : la valeur souhaitée est définie comme le produit de la hauteur du corps par le nombre universel P. et par le carré du rayon de la base.

La formule qui en résulte, il faut le dire, est applicable à la résolution des problèmes les plus inattendus. De la même manière que le volume du cylindre par exemple, le volume du câblage électrique est déterminé. Cela peut être nécessaire pour calculer la masse des fils.

La seule différence dans la formule est qu'au lieu du rayon d'un cylindre, le diamètre du brin de câblage est divisé en deux et le nombre de brins du fil apparaît dans l'expression N. De plus, au lieu de la hauteur, la longueur du fil est utilisée. De cette façon, le volume du « cylindre » est calculé non seulement par un, mais par le nombre de fils dans la tresse.

De tels calculs sont souvent nécessaires dans la pratique. Après tout, une partie importante des réservoirs d’eau se présente sous la forme d’un tuyau. Et il est souvent nécessaire de calculer le volume d'un cylindre même à la maison.

Cependant, comme déjà mentionné, la forme du cylindre peut être différente. Et dans certains cas, il est nécessaire de calculer quel est le volume d'un cylindre incliné.

La différence est que la surface de la base n'est pas multipliée par la longueur de la génératrice, comme dans le cas d'un cylindre droit, mais par la distance entre les plans - un segment perpendiculaire construit entre eux.

Comme le montre la figure, un tel segment est égal au produit de la longueur de la génératrice et du sinus de l'angle d'inclinaison de la génératrice par rapport au plan.

Comment construire un développement de cylindre

Dans certains cas, il est nécessaire de découper une alésoir cylindrique. La figure ci-dessous montre les règles selon lesquelles une ébauche est construite pour la fabrication d'un cylindre d'une hauteur et d'un diamètre donnés.

Veuillez noter que le dessin est présenté sans coutures.

Différences entre un cylindre biseauté

Imaginons un certain cylindre droit, limité d'un côté par un plan perpendiculaire aux génératrices. Mais le plan délimitant le cylindre de l’autre côté n’est pas perpendiculaire aux génératrices ni parallèle au premier plan.

La figure montre un cylindre biseauté. Avion UNà un certain angle, différent de 90° par rapport aux génératrices, coupe la figure.

Cette forme géométrique se retrouve le plus souvent en pratique sous forme de raccords de canalisations (coudes). Mais il existe même des bâtiments construits en forme de cylindre biseauté.

Caractéristiques géométriques d'un cylindre biseauté

L'inclinaison de l'un des plans d'un cylindre biseauté modifie légèrement la procédure de calcul à la fois de la surface d'une telle figure et de son volume.

Considérons un cylindre de rotation de rayon R et de hauteur h (Fig. 383). A la base de ce cylindre nous inscrirons un polygone régulier (un hexagone sur la fig. 383) et avec son aide nous construirons un prisme régulier inscrit dans le cylindre. De la même manière, on peut décrire des prismes réguliers avec un nombre arbitrairement grand de faces latérales autour d'un cylindre.

Par définition, l'aire de la surface latérale d'un cylindre est considérée comme la limite vers laquelle tendent les aires des surfaces latérales des prismes réguliers inscrits et circonscrits autour de lui à mesure que le nombre de leurs faces latérales double à l'infini (ou augmente généralement ).

Nous allons maintenant prouver qu'une telle limite existe. Si l'on prend comme base un prisme régulier inscrit construit sur un triangle régulier, alors pour sa surface latérale nous aurons l'expression , où est le périmètre d'un triangle régulier inscrit dans le cercle de la base du cylindre. À . Exactement le même calcul pour le prisme décrit donne le même résultat. Ainsi, l'aire de la surface latérale du cylindre de rotation est exprimée par la formule

La surface latérale du cylindre est égale au produit de la longueur de la génératrice et du périmètre (c'est-à-dire la circonférence) de la base.

Problème 1. Le segment reliant les points A et B diamétralement opposés des bases supérieure et inférieure du cylindre (Fig. 384) mesure 10 cm et est incliné par rapport au plan de la base d'un angle de 60°. Trouvez l'aire de la surface latérale du cylindre.

Solution. Traçons une coupe transversale du segment L avec un plan perpendiculaire à la base du cylindre. Du triangle nous avons

où l'on trouve pour la surface latérale du cylindre

Problème 2. Triangle ABC dont les sommets A et B sont les extrémités du diamètre de la base inférieure du cylindre, et le sommet C est l'extrémité du diamètre de la base supérieure qui lui est perpendiculaire, équilatéral au côté a,

Trouvez l'aire des surfaces latérales et totales du cylindre. Solution. Le rayon de la base du cylindre est égal à La hauteur du triangle ABC (Fig. 385) est égale à et la génératrice du cylindre est calculée comme suit

La surface latérale du cylindre est donc égale à

et la surface totale (égale à la somme de l'aire de la surface latérale et de l'aire des deux bases du cylindre) est égale à

Des exercices

1. Les diagonales des faces latérales d'un parallélépipède rectangle sont inclinées par rapport au plan de base selon des angles respectivement égaux à . Trouvez l'angle d'inclinaison par rapport au même plan de la diagonale du parallélépipède.

2. Dans un parallélépipède droit, l'angle aigu de la base est égal à a, et l'un des côtés de la base est égal à a. La section tracée à travers ce côté et le bord opposé de la base supérieure a une aire Q et son plan est incliné par rapport au plan de la base selon un angle . Trouvez le volume et la surface totale du parallélépipède.

3. La base d'un prisme triangulaire incliné est un triangle rectangle isocèle et la projection de l'un des bords latéraux sur le plan de la base coïncide avec la médiane m de l'une des branches du triangle. Trouvez l'angle d'inclinaison des nervures latérales par rapport au plan de la base si le volume du prisme est égal à V.

4. Dans un prisme hexagonal régulier, deux sections sont dessinées à travers le côté de la base : 1) contenant le côté opposé de la base supérieure, 2) contenant le centre de la base supérieure. A quelle hauteur du prisme l'angle entre les plans de section a-t-il la plus grande valeur et à quoi est-il égal dans ce cas ?