Calcul du rayon de l'arc. Géométrie du cercle

Les problèmes liés à la recherche de l'aire d'un cercle sont une partie obligatoire de l'examen d'État unifié en mathématiques. En règle générale, plusieurs tâches sont assignées à ce sujet lors du test de certification. Tous les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent comprendre l'algorithme permettant de trouver la circonférence et l'aire d'un cercle.

Si de telles tâches planimétriques vous posent des difficultés, nous vous recommandons de vous tourner vers le portail pédagogique Shkolkovo. Avec nous, vous pouvez combler vos lacunes en matière de connaissances.

La section correspondante du site présente un large choix de problèmes pour trouver la circonférence et l'aire d'un cercle, similaires à ceux inclus dans l'examen d'État unifié. Ayant appris à les exécuter correctement, le diplômé sera en mesure de réussir l'examen.

Moments de base

Les problèmes qui nécessitent l’utilisation de formules d’aire peuvent être directs ou inverses. Dans le premier cas, les paramètres des éléments de la figure sont connus. Dans ce cas, la quantité requise est la surface. Dans le second cas, au contraire, l'aire est connue, et il faut retrouver un élément de la figure. L'algorithme permettant de calculer la bonne réponse dans de telles tâches ne diffère que par l'ordre dans lequel les formules de base sont appliquées. C'est pourquoi, lorsqu'on commence à résoudre de tels problèmes, il est nécessaire de répéter le matériel théorique.

Le portail pédagogique « Shkolkovo » fournit toutes les informations de base sur le thème « Trouver la longueur d'un cercle ou d'un arc et l'aire d'un cercle », ainsi que sur d'autres sujets, par exemple. Nos spécialistes l'ont préparé et présenté. sous la forme la plus accessible.

Après avoir mémorisé les formules de base, les étudiants peuvent commencer à résoudre en ligne des problèmes pour trouver l'aire d'un cercle, similaires à ceux inclus dans l'examen d'État unifié. Pour chaque exercice, le site propose une solution détaillée et la bonne réponse. Si nécessaire, n'importe quelle tâche peut être enregistrée dans la section « Favoris » afin d'y revenir ultérieurement et d'en discuter avec l'enseignant.

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Problème 10 (OGE - 2015)

Sur un cercle de centre O, les points A et B sont marqués de telle sorte que ∠ AOB = 18°. La longueur du plus petit arc AB est 5. Trouvez la longueur du plus grand arc de cercle.

Solution

∠AOB = 18°. Le cercle entier fait 360°. Par conséquent ∠ AOB est 18/360 = 1/20 de cercle.

Cela signifie que le plus petit arc AB représente 1/20 du cercle entier, donc le plus grand arc représente le reste, c'est-à-dire Circonférence 19/20.

1/20 de cercle correspond à une longueur d'arc de 5. Alors la longueur du plus grand arc est 5 * 19 = 95.

Problème 10 (OGE - 2015)

Sur un cercle de centre O, les points A et B sont marqués de telle sorte que ∠ AOB = 40°. La longueur du plus petit arc AB est de 50. Trouvez la longueur du plus grand arc de cercle.

Solution

∠AOB = 40°. Le cercle entier fait 360°. Par conséquent ∠ AOB est 40/360 = 1/9 de cercle.

Cela signifie que le plus petit arc AB représente 1/9 du cercle entier, donc le plus grand arc est le reste, c'est-à-dire 8/9 cercle.

1/9 de cercle correspond à une longueur d’arc de 50. Alors la longueur du plus grand arc est de 50*8 = 400.

Réponse : 400.

Tâche 10 (GIA - 2014)

La longueur d'une corde d'un cercle est de 72 et la distance entre le centre du cercle et cette corde est de 27. Trouvez le diamètre du cercle.

Solution

En utilisant le théorème de Pythagore, à partir du triangle rectangle AOB on obtient :

AO 2 = OB 2 +AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Le diamètre est alors 2R = 2*45 = 90.

Tâche 10 (GIA - 2014)

Le point O est le centre du cercle sur lequel se trouvent les points A, B et C. On sait que ∠ABC = 134° et ∠OAB = 75°. Trouvez l'angle BCO. Donnez votre réponse en degrés.

La formule pour trouver la longueur d'un arc de cercle est assez simple et très souvent, dans les examens importants tels que l'examen d'État unifié, des problèmes ne peuvent être résolus sans son utilisation. Il est également nécessaire de le connaître pour réussir les tests standardisés internationaux, tels que SAT et autres.

Quelle est la longueur de l’arc de cercle ?

La formule ressemble à ceci :

l = πrα / 180°

Quel est chaque élément de la formule :

π - nombre Pi (valeur constante égale à ≈ 3,14) ;
r est le rayon d'un cercle donné ;
α est la grandeur de l'angle auquel repose l'arc (central, non inscrit).

Comme vous pouvez le voir, pour résoudre le problème, r et α doivent être présents dans la condition. Sans ces deux grandeurs, il est impossible de trouver la longueur de l’arc.

Comment cette formule est-elle dérivée et pourquoi ressemble-t-elle à ceci ?

Tout est extrêmement simple. Cela deviendra beaucoup plus clair si vous mettez 360° au dénominateur et ajoutez deux au numérateur devant. Vous pouvez aussi α ne le laissez pas dans la fraction, retirez-le et écrivez-le avec le signe de multiplication. C'est tout à fait possible, puisque cet élément est au numérateur. Alors la vue générale sera comme ceci :

l = (2πr / 360°) × α

Juste pour plus de commodité, nous avons raccourci 2 et 360°. Et maintenant, si vous regardez attentivement, vous pouvez voir une formule très familière pour la longueur du cercle entier, à savoir : 2πr. Le cercle entier fait 360°, nous divisons donc la mesure obtenue en 360 parties. Ensuite on multiplie par le nombre α, c’est-à-dire pour le nombre de « parts du gâteau » dont nous avons besoin. Mais tout le monde sait avec certitude qu'un nombre (c'est-à-dire la longueur du cercle entier) ne peut pas être divisé par un degré. Que faire dans ce cas ? Habituellement, en règle générale, le degré se contracte avec le degré de l'angle central, c'est-à-dire avec α. Ensuite, il ne reste que des chiffres et la réponse finale est finalement obtenue.

Cela peut expliquer pourquoi la longueur de l'arc de cercle est trouvée de cette manière et a cette forme.

Un exemple de problème de complexité moyenne utilisant cette formule

Condition : Il y a un cercle d’un rayon de 10 centimètres. La mesure en degrés d’un angle central est de 90°. Trouvez la longueur de l'arc de cercle formé par cet angle.

Solution : l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Réponse : l = 5π

Il est également possible qu'au lieu d'une mesure en degrés, une mesure d'angle en radian soit donnée. Il ne faut en aucun cas avoir peur, car cette fois la tâche est devenue beaucoup plus facile. Pour convertir une mesure en radians en mesure en degrés, vous devez multiplier ce nombre par 180° / π. Cela signifie que nous pouvons désormais remplacer α la combinaison suivante : m × 180° / π. Où m est la valeur en radian. Et puis 180 et le nombre π sont réduits et une formule complètement simplifiée est obtenue, qui ressemble à ceci :

m - mesure d'angle en radian ;
r est le rayon d'un cercle donné.

Tout d'abord, comprenons la différence entre un cercle et un cercle. Pour voir cette différence, il suffit de considérer quels sont les deux chiffres. Il s'agit d'un nombre infini de points sur le plan, situés à égale distance d'un seul point central. Mais si le cercle est également constitué d'espace interne, alors il n'appartient pas au cercle. Il s'avère qu'un cercle est à la fois un cercle qui le limite (cercle(r)) et un nombre incalculable de points qui se trouvent à l'intérieur du cercle.

Pour tout point L situé sur le cercle, l'égalité OL=R s'applique. (La longueur du segment OL est égale au rayon du cercle).

Un segment qui relie deux points sur un cercle est son accord.

Une corde passant directement par le centre d'un cercle est diamètre ce cercle (D). Le diamètre peut être calculé à l'aide de la formule : D=2R

Circonférence calculé par la formule : C=2\pi R

Aire d'un cercle: S=\piR^(2)

Arc de cercle s'appelle la partie qui se situe entre ses deux points. Ces deux points définissent deux arcs de cercle. L'accord CD sous-tend deux arcs : CMD et CLD. Des accords identiques sous-tendent des arcs égaux.

Angle central Un angle compris entre deux rayons est appelé.

Longueur de l'arc peut être trouvé en utilisant la formule :

Utilisation de la mesure du degré : CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
En utilisant la mesure du radian : CD = \alpha R

Le diamètre, perpendiculaire à la corde, divise en deux la corde et les arcs qu'elle contracte.

Si les cordes AB et CD du cercle se coupent au point N, alors les produits des segments des cordes séparés par le point N sont égaux entre eux.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangente à un cercle

Tangente à un cercle Il est d'usage d'appeler une ligne droite ayant un point commun avec un cercle.

Si une droite a deux points communs, on l'appelle sécante.

Si vous dessinez le rayon au point tangent, il sera perpendiculaire à la tangente au cercle.

Traçons deux tangentes de ce point à notre cercle. Il s'avère que les segments tangents seront égaux les uns aux autres et que le centre du cercle sera situé sur la bissectrice de l'angle avec le sommet en ce point.

CA = CB

Traçons maintenant une tangente et une sécante au cercle à partir de notre point. On obtient que le carré de la longueur du segment tangent sera égal au produit de l'ensemble du segment sécant et de sa partie extérieure.

AC^(2) = CD \cdot BC

On peut conclure : le produit d'un segment entier de la première sécante et de sa partie externe est égal au produit d'un segment entier de la deuxième sécante et de sa partie externe.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Angles dans un cercle

Les mesures en degrés de l'angle au centre et de l'arc sur lequel il repose sont égales.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés contiennent des cordes.

Vous pouvez le calculer en connaissant la taille de l'arc, puisqu'elle est égale à la moitié de cet arc.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Basé sur un diamètre, un angle inscrit, un angle droit.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Les angles inscrits qui sous-tendent le même arc sont identiques.

Les angles inscrits reposant sur une corde sont identiques ou leur somme est égale à 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Sur un même cercle se trouvent les sommets de triangles ayant des angles identiques et une base donnée.

Un angle dont le sommet est à l'intérieur du cercle et situé entre deux cordes est identique à la moitié de la somme des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus dans les angles donnés et verticaux.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un angle dont le sommet est extérieur au cercle et situé entre deux sécantes est identique à la moitié de la différence des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus à l'intérieur de l'angle.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Cercle inscrit

Cercle inscrit est un cercle tangent aux côtés d'un polygone.

Au point d'intersection des bissectrices des coins d'un polygone, se trouve son centre.

Un cercle ne peut pas être inscrit dans chaque polygone.

L'aire d'un polygone avec un cercle inscrit se trouve par la formule :

S = pr,

p est le demi-périmètre du polygone,

r est le rayon du cercle inscrit.

Il s'ensuit que le rayon du cercle inscrit est égal à :

r = \frac(S)(p)

Les sommes des longueurs des côtés opposés seront identiques si le cercle est inscrit dans un quadrilatère convexe. Et vice versa : un cercle s'inscrit dans un quadrilatère convexe si les sommes des longueurs des côtés opposés sont identiques.

AB + DC = AD + BC

Il est possible d'inscrire un cercle dans n'importe lequel des triangles. Un seul. Au point d'intersection des bissectrices des angles internes de la figure, se trouvera le centre de ce cercle inscrit.

Le rayon du cercle inscrit est calculé par la formule :

r = \frac(S)(p) ,

où p = \frac(a + b + c)(2)

Circoncercle

Si un cercle passe par chaque sommet d'un polygone, alors un tel cercle est généralement appelé décrit à propos d'un polygone.

Au point d'intersection des médiatrices des côtés de cette figure se trouvera le centre du cercle circonscrit.

Le rayon peut être trouvé en le calculant comme le rayon du cercle circonscrit au triangle défini par 3 sommets quelconques du polygone.

On a la condition suivante : un cercle ne peut être décrit autour d'un quadrilatère que si la somme de ses angles opposés est égale à 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Autour de n'importe quel triangle, vous pouvez décrire un cercle, et un seul. Le centre d'un tel cercle sera situé au point d'intersection des médiatrices perpendiculaires des côtés du triangle.