Volume d'un triangle équilatéral. Comment connaître l'aire d'un triangle équilatéral : formules de base

Parmi les figures géométriques abordées dans la section géométrie, la plus souvent rencontrée lors de la résolution de certains problèmes est un triangle. Il est formé de trois lignes droites. Ils ne se croisent pas en un point et ne sont pas parallèles. Une autre définition peut être donnée : un triangle est une ligne fermée brisée composée de trois maillons, où son début et sa fin sont reliés en un point. Si les trois côtés sont de taille égale, alors c'est un triangle régulier ou, comme on dit, équilatéral.

Comment déterminer Pour résoudre de tels problèmes, vous devez connaître certaines propriétés de cette figure géométrique. Premièrement, celui-ci a tous les angles égaux. Deuxièmement, la hauteur qui descend du haut vers le bas est à la fois la médiane et la hauteur. Cela suggère que la hauteur divise le sommet du triangle en deux angles égaux et le côté opposé en deux segments égaux. Puisqu'un triangle équilatéral est composé de deux, il est nécessaire d'utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la valeur requise.

Le calcul de l'aire d'un triangle peut se faire de différentes manières, en fonction des quantités connues.

1. Considérons un triangle équilatéral de côté b et de hauteur h connus. L'aire du triangle dans ce cas sera égale à la moitié du produit du côté et de la hauteur. Sous forme de formule, cela ressemblera à ceci :

Autrement dit, l’aire d’un triangle équilatéral est égale à la moitié du produit de son côté et de sa hauteur.

2. Si seule la taille du côté est connue, alors avant de rechercher la zone, il est nécessaire de calculer sa hauteur. Pour ce faire, considérons un demi-triangle dans lequel la hauteur sera l'une des branches, l'hypoténuse est le côté du triangle et la deuxième branche est la moitié du côté du triangle selon ses propriétés. Tout cela à partir du même théorème de Pythagore : comme on le sait, le carré de l'hypoténuse correspond à la somme des carrés des jambes. Si nous considérons un demi-triangle, alors dans ce cas, le côté est l'hypoténuse, la moitié du côté est une jambe et la hauteur est la seconde.

(b/2)²+ h2= b², donc

h²= b²-(b/2)². Ramenons-le à un dénominateur commun :

Comme vous pouvez le constater, la hauteur de la figure en question est égale au produit de la moitié de son côté par la racine de trois.

Remplaçons-le dans la formule et voyons : S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

C'est-à-dire que l'aire d'un triangle équilatéral est égale au produit de la quatrième partie du carré du côté et de la racine de trois.

3. Il existe également des problèmes où il est nécessaire de déterminer l'aire d'un triangle équilatéral de hauteur connue. Et cela s’avère aussi simple que de décortiquer des poires. Nous avons déjà déduit dans le cas précédent que h²= 3 b²/4. Ensuite, vous devez dériver le côté d’ici et le remplacer dans la formule d’aire. Il ressemblera à ceci:

b²=4/3* h², donc b=2h/√3. En substituant dans la formule de l'aire, nous obtenons :

S=1/2* h*2h/√3, donc S= h²/√3.

Il y a des problèmes lorsqu'il est nécessaire de trouver l'aire d'un triangle équilatéral le long du rayon d'un cercle inscrit ou circonscrit. Il existe également certaines formules pour ce calcul, qui ressemblent à ceci : r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Nous agissons selon un principe qui nous est déjà familier. Avec un rayon connu, nous dérivons le côté de la formule et le calculons en substituant la valeur connue du rayon. Nous substituons la valeur résultante dans la formule déjà connue pour calculer l'aire d'un triangle régulier, effectuons des calculs arithmétiques et trouvons la valeur souhaitée.

Comme on le voit, pour résoudre des problèmes similaires, il est nécessaire de connaître non seulement les propriétés d'un triangle régulier, mais aussi le théorème de Pythagore et le rayon du cercle circonscrit et inscrit. Pour ceux qui possèdent ces connaissances, résoudre de tels problèmes ne sera pas particulièrement difficile.

Vous pouvez trouver l'aire d'un triangle équilatéral en utilisant n'importe quelle formule pour une figure arbitraire d'un type donné ou utiliser celles qui prennent déjà en compte les particularités de cette figure particulière et les expressions mathématiques sont considérablement simplifiées.

Le premier cas nécessite uniquement de remplacer tous les côtés par la même valeur et de prendre en compte le fait que tous les angles du triangle sont égaux à 60º. Reste ensuite à effectuer des transformations simples, qui conduiront aux formules données sous forme finie un peu plus bas.

Formule 1 : côté connu

Dans cette formule et dans les suivantes, des notations standard pour les quantités triangulaires sont utilisées. Vous pouvez les voir plus en détail dans le tableau proposé.

L'aire du triangle dans ce cas sera calculée à l'aide de la formule :

S = √3/4 * une 2.

Il s'obtient facilement à partir de celui connu pour une figure arbitraire à trois côtés. Il suffit de prendre en compte dans la formule que tous les côtés d'un triangle sont égaux.

Pour être plus précis, vous aurez besoin de la formule de Heron : S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). La valeur du demi-périmètre pour un triangle équilatéral sera 3a/2. Ainsi, dans chaque parenthèse sous la racine, nous obtenons l'expression ((3a/2) - a). Cela donnera après transformation a/2.

Puisqu’il y a trois parenthèses, cette expression aura un troisième degré. Cela signifie qu'il sera transformé en 3/8.

Encore faut-il le multiplier par le demi-périmètre, qui est défini comme la somme des côtés divisée par 2. Le résultat est l'expression : 3a 4 /16. Après avoir extrait la racine carrée, l'expression donnée dans la première formule pour l'aire d'un triangle équilatéral restera.

Il n’est donc pas nécessaire de mémoriser de nombreuses formules. Vous ne vous en souvenez que d'un : Heron. A partir de là, par de simples transformations mathématiques, on obtient tous les autres, par exemple pour un triangle équilatéral.

Formule 2 : étant donné le rayon du cercle inscrit

Cette expression est très similaire à l’entrée précédente. Mais il existe encore des différences significatives : une lettre différente est utilisée, l'irrationalité est passée au dénominateur, un facteur 3 est apparu et le chiffre 4 a disparu. En général, c'est facile à retenir.

S = 3√3 * r2 .

Cette formule est également facile à obtenir à partir de celle donnée pour un triangle arbitraire. Dans celui-ci, le rayon est multiplié par la somme des côtés et divisé par 4. Puisque les côtés ont la même valeur, la somme sera remplacée par 3a. Nous devons maintenant supprimer le « a » pour ne conserver que la valeur du rayon. Pour ce faire, vous aurez besoin d'une expression dans laquelle le côté est divisé par le produit de 2 et le sinus de l'angle opposé au côté. Puisque l'angle est de 60º, la valeur sinusoïdale sera √3/2. Alors le côté sera exprimé par le rayon comme suit : a = √3R. Après une simple transformation, vous pouvez arriver à l'expression de l'aire donnée au début.

Formule 3 : étant donné le cercle circonscrit et son rayon

C'est très similaire au premier. Seulement dans son numérateur le chiffre 3 apparaît et la lettre est devenue R.

S = 3√3/4 * R2.

Étant donné que le rayon est deux fois plus grand que celui évoqué dans le paragraphe précédent, la manière dont il est obtenu est claire. Il remplace simplement r par R/2. Et les changements nécessaires sont en cours.

Vous n’avez donc pas besoin de vous souvenir de la formule. Gardez simplement à l’esprit le rapport des rayons des cercles inscrits et circonscrits d’un triangle équilatéral.

Formule 4 : hauteur connue

Dans ce cas, l'aire du triangle équilatéral est :

S = n 2 / √3.

Pour comprendre comment est obtenue cette formule, il vous faudra à nouveau utiliser la formule commune à tous les triangles. Cela ressemble au produit du côté multiplié par la hauteur et ½. Maintenant, pour connaître l'aire d'un triangle équilatéral, vous devrez vous souvenir ou dériver une expression mathématique pour la hauteur.

Il est facile de le reconnaître si l’on profite du fait que la hauteur forme un triangle rectangle. Cela signifie que la hauteur peut être trouvée comme une jambe - d'après le théorème de Pythagore. La deuxième jambe sera égale à la moitié du côté, puisque la hauteur est aussi la médiane (c'est une propriété bien connue d'un triangle équilatéral). Ensuite, la hauteur sera déterminée comme la racine carrée de la différence de deux carrés. Le premier est « a » et le second est « a/2 ». Après avoir augmenté à la puissance deux et extrait la racine, il reste : n = (√3/2)*a. De là a = 2n/√3. Après l'avoir remplacé dans la formule de base pour tous les triangles, vous obtiendrez l'expression indiquée au début de la section.

Exemple n°1

Condition. Calculez l'aire d'un triangle équilatéral si l'on sait que son côté a une valeur de 4 cm.

Solution. La signification des côtés de la figure étant connue, il faut utiliser la première formule.

Vous devez d’abord mettre le nombre 4 au carré. De cette action, vous obtenez le nombre 16. Maintenant, il s’annule avec le quatre au dénominateur. Et par conséquent, le numérateur reste 4 et √3, et le dénominateur devient égal à un, ce qui signifie qu'il ne peut tout simplement pas être écrit. C’est le résultat qu’il fallait trouver dans le problème.

Répondre: 4√3cm2.

Exemple n°2

Condition. Tous les côtés d'un triangle équilatéral sont égaux à 2√2 pouces. Calculez sa superficie.

Solution. Le raisonnement est le même que dans le premier problème. Seule la valeur du carré du côté sera différente. Dans celui-ci, vous devez élever séparément 2 et l'irrationalité à la deuxième puissance. Et le résultat sera comme ceci : 4*2 = 8. Après réduction avec le dénominateur, 2 et √3 restent au numérateur de la fraction, et le dénominateur disparaît.

Répondre: 2√3 dm2 .

Exemple n°3

Condition. Un cercle est inscrit dans un triangle équilatéral, son rayon est de 2,5 cm. Il faut calculer l'aire du triangle.

Solution. Pour calculer la valeur requise, vous devrez utiliser la deuxième formule.

Tout d’abord, la valeur du rayon doit être au carré. Le résultat sera 6h25. Ensuite cette valeur doit être multipliée par 3. Le résultat de cette action sera le nombre 18,75. Mais ce n’est pas la valeur finale : elle contiendra le facteur √3, présent dans la formule utilisée.

Répondre: 18,75√3 cm2.

Exemple n°4

Condition. Vous devez déterminer quelle est l'aire d'un triangle équilatéral si sa hauteur est connue - 3 dm.

Solution. Naturellement, vous devez choisir la quatrième formule. C'est le moyen le plus simple de trouver la réponse à ce problème.

Il suffit de mettre au carré le nombre 3, c'est-à-dire la hauteur, ce qui donnera la valeur 9. Et puis de le diviser par √3, qui est dans la formule.

Puisqu'en mathématiques, il n'est pas habituel de laisser l'irrationalité au dénominateur de la réponse, nous devons nous en débarrasser. Pour ce faire, la fraction 9/√3 devra être multipliée par une fraction de même numérateur et dénominateur, à savoir √3/√3. A partir de cette action, la valeur 9√3 apparaîtra au numérateur et le chiffre 3 apparaîtra au dénominateur.

Cette fraction peut et doit être réduite de 3. C'est le résultat final.

Répondre: superficie - 3√3 dm 2.

Exemple n°5

Condition.Étant donné un triangle équilatéral dont l'aire est de 27 cm 2 . A partir de cette valeur, vous devez connaître la longueur du côté de la figure.

Solution. Puisque nous parlons de côté, la première formule fera l’affaire. De là, vous pouvez immédiatement en déduire une expression mathématique qui vous permettra de déterminer le côté du triangle.

Pour ce faire, l'aire doit être multipliée par 4 et divisée par la racine carrée de trois. Cela vous donnera la valeur du côté au carré. Pour obtenir juste un côté, vous devez extraire la racine. L'expression du côté ressemblera à ceci : a = 2 * √(S/√3).

Puisque la superficie est connue, vous pouvez immédiatement commencer les calculs. L'expression radicale ressemble au quotient de 27 et √3. Nous devons nous débarrasser de l’irrationalité du dénominateur. Le résultat est 27√3 divisé par 3. Après la réduction, 1 reste au dénominateur, qui peut être omis, et 9√3 reste au numérateur.

L'étape suivante consiste à extraire la racine de l'expression résultante. Le premier facteur donne la valeur 3. Mais le second - √3 - requiert de l'attention. Pour faciliter les choses, vous pouvez extraire ces racines et arrondir les valeurs.

√3 = 1,73 ; Maintenant, nous en extrayons à nouveau la racine et obtenons 1,32.

Il ne reste plus qu'à le multiplier par 2 et obtenir le résultat souhaité.

Répondre: le côté mesure 2,64 cm.

Un triangle équilatéral est le polygone régulier le plus simple possible. Lors de la recherche de son aire, des variantes particulières de son calcul apparaissent. Il est important de connaître et de comprendre les signes et propriétés de ce type de figure afin de calculer plus facilement ce paramètre. Toutes les méthodes présentées ci-dessous sont assez simples à utiliser et ne nécessitent pas de réflexion approfondie.

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Signes et propriétés de la figure

• Sa valeur est la même dans tous les cas et égale 60 degrés, quelle que soit la taille des côtés.
• , la hauteur et la médiane dégagées d'un coin coïncideront.
• N'importe quel côté d'un triangle équilatéral égal aux deux autres.
• Le centre d'un triangle régulier sera le centre de .
• C'est un cas particulier de triangle isocèle.

Important! Si au moins une de ces caractéristiques est remplie, alors le triangle est équilatéral.

Triangle équilatéral

De plus, ce cas particulier de figure a les propriétés suivantes :

Calcul par le côté

Il existe de nombreuses façons de calculer l'aire de cette figure. Ils ont tous leurs avantages et leurs inconvénients. Ils sont appliqués en fonction des conditions présentées au problème. La manière la plus populaire de trouver la valeur souhaitée pour un triangle équilatéral est calculée par le produit de la moitié des côtés et du sinus de l'angle qui les sépare, cela ressemble à ceci : , où a et b sont les côtés, α est l'angle entre eux.

Dans le cas de l'équilatéral, cette méthode est largement simplifiée. Pour ce faire, vous devez vous référer aux signes et propriétés évoqués ci-dessus. Basé sur le fait que tous les angles de cette figure sont égaux et égaux à 60 degrés. Sinus 60 degrés, selon Table Bradis, est égal à , en transformant l'expression originale, nous obtenons la valeur suivante : .

Considérant que tous les côtés de cette figure sont égaux, l'expression transformée donnera le résultat suivant : .

Cette formule est parfaite si vous savez taille du côté cette figure. Sous cette forme, le calcul de cet indicateur est beaucoup plus simple et plus rapide.

Ceux qui se souviennent de la formule de Heron savent comment trouver l'aire de cette figure. Pendant le processus de conversion, l'expression deviendra celle indiquée ci-dessus. Aire de cette figure selon Héron est calculé comme suit : , où, a, b, c sont les côtés et p est le demi-périmètre (). Cette expression se convertit tout simplement. Il faut substituer le calcul du demi-périmètre à la valeur p et commencer progressivement à réduire l'expression. La somme des côtés peut être représentée comme la somme de trois côtés égaux et les réductions terminées. Mathématiquement, cela ressemble à ceci :

;

;

La formule d'aire résultante et les fonctions présentées ci-dessous ne peuvent être utilisées que si la figure est correct sinon, il ne donnera pas la bonne réponse.

Calculer l'aire d'un triangle en fonction de son côté

Calcul de la hauteur

Vous pouvez également trouver l'aire d'un triangle équilatéral si vous connaissez son et côté. La moitié de la longueur de la hauteur est multipliée par le côté ; n'importe quelle hauteur et n'importe quel côté peuvent être sélectionnés, car selon les propriétés, ils Ils sont tous les mêmes: , où a est la longueur du côté. Il est facile à retenir, cependant, dans la pratique, il est assez rarement utilisé.

Si le problème contient des informations indiquant que le triangle est équilatéral et que la hauteur est connue. Et on ne sait pas quelle est la longueur du côté, alors vous pouvez utiliser une formule qui vous permet de la calculer. Trouver le côté peut être divisé en divisant la double hauteur par la racine carrée de trois, mathématiquement cela ressemble à ceci : . Après cela, la formule de surface est appliquée, où les calculs sont effectués par côté ; elle est décrite dans le paragraphe précédent.

Afin de ne pas faire de calculs inutiles, vous pouvez dériver immédiatement la formule de cet indicateur à travers la hauteur. Le carré de la hauteur est divisé par la racine carrée de trois. Il ressemblera à ceci: . Dans ce cas, vous n'avez pas besoin d'appliquer la formule d'un triangle isocèle passant par le côté.

Calculer l'aire d'un triangle en fonction de son côté et de sa hauteur

Calcul à travers des cercles

En mathématiques, la méthode de calcul de la valeur discutée dans l'article en plaçant un chiffre dans un cercle ou vice versa est également populaire. Un tel cercle appelé décrit. S'il est à l'intérieur, alors on l'appelle inscrit. C'est dans cette section que se posent la plupart des questions sur la façon de trouver l'aire d'un polygone équilatéral à trois angles.

Le cercle circonscrit doit passer à travers tous les sommets, l'inscrit ne doit passer par les côtés qu'en un seul point le long de la tangente.

Dessin d'un triangle équilatéral circonscrit ou inscrit dans un cercle

Si l'énoncé du problème donne le rayon du cercle inscrit et circonscrit, alors une expression peut également être faite à partir d'eux, car ensemble, ils donnent la longueur totale de la hauteur. La façon dont la superficie est calculée à l’aide de celle-ci est indiquée ci-dessus : h = R + r.

En transformant la formule, en appliquant le calcul de la hauteur h = R + r, vous pouvez obtenir la valeur suivante : . Cette formule peut être encore simplifiée, car le rayon du cercle circonscrit peut être exprimé à travers le rayon inscrit. D'après les propriétés de ces cercles, R = 2r, où r est le rayon du cercle inscrit, R est le rayon du cercle circonscrit. Respectivement aire d'un triangle régulier sera calculé ainsi : .

Si la taille du rayon du cercle circonscrit est donnée, alors l'expression ressemblera à ceci : .

L'utilisation de ces propriétés est utile pour calculer le côté d'une figure. Pour le trouver, vous pouvez utiliser l’expression du cercle circonscrit et du cercle inscrit.

Étant donné le rayon du cercle circonscrit, vous pouvez trouver la valeur souhaitée en coupant le côté au cube, après quoi le résultat est divisé par le rayon augmenté. 4 fois. Mathématiquement, cela peut s'écrire ainsi : .

Le processus de calcul de l'aire d'un triangle équilatéral à l'aide de l'une des formules proposées ne devrait pas poser de difficultés particulières. Pour réussir cette tâche, vous n'avez pas besoin de vous souvenir de toutes les méthodes spécifiées, il suffit de vous rappeler les principes généraux de base formules de calcul, ainsi que les propriétés et caractéristiques de cette figure.

Attention! Pour vérifier l'exactitude des calculs, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes, les résultats doivent correspondre.

Aire d'un triangle équilatéral

Aire d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle

En appliquant la pensée logique, les calculs sont facilement transformés en cas particuliers, qui sont bien d’autres. Il n’est pas conseillé de se remplir la tête d’une grande quantité d’informations non pertinentes ; il vaut mieux développer une relation de cause à effet pour transformer les expressions.

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