Приклади дії зі змішаними дробами. Правила арифметичних процесів над звичайними дробами
Події з дробами. У цій статті розберемо приклади, докладно з поясненнями. Розглядатимемо прості дроби. Надалі розберемо й десяткові. Рекомендую подивитися весь та вивчати послідовно.
1. Сума дробів, різниця дробів.
Правило: при складанні дробів з рівними знаменниками, в результаті отримуємо дріб – знаменник якої залишається той же, а чисельник її дорівнюватиме сумі чисельників дробів.
Правило: при обчисленні різниці дробів з однаковими знаменниками отримуємо дріб – знаменник залишається той самий, а з чисельника першого дробу віднімається чисельник другого.
Формальний запис суми та різниці дробів з рівними знаменниками:
Приклади (1):
Зрозуміло, що коли дано прості дроби, то все просто, а якщо змішані? Нічого складного…
Варіант 1- Можна перевести їх у прості і далі обчислювати.
Варіант 2– можна окремо «працювати» з цілою та дробовою частиною.
Приклади (2):
Ще:
А якщо буде дана різниця двох змішаних дробів і чисельник першого дробу буде меншим від чисельника другого? Теж можна діяти двома способами.
Приклади (3):
*Перевели у звичайні дроби, обчислили різницю, перевели отриманий неправильний дріб у змішану.
*Розбили на цілі та дробові частини, отримали трійку, далі представили 3 як суму 2 і 1, причому одиницю представили як 11/11, далі знайшли різницю 11/11 і 7/11 і обчислили результат. Сенс викладених перетворень у тому, щоб узяти (виділити) одиницю і уявити її як дробу з потрібним нам знаменником, далі від цього дробу ми можемо відняти іншу.
Ще приклад:
Висновок: є універсальний підхід - для того, щоб обчислити суму (різницю) змішаних дробів з рівними знаменниками їх можна перевести в неправильні, далі виконати необхідну дію. Після цього якщо в результаті отримуємо неправильний дріб переводимо його в змішаний.
Вище ми розглянули приклади з дробами, які мають рівні знаменники. А якщо знаменники відрізнятимуться? У цьому випадку дроби наводяться до одного знаменника та виконується зазначена дія. Для зміни (перетворення) дробу використовується основна властивість дробу.
Розглянемо прості приклади:
У цих прикладах ми відразу бачимо як можна перетворити один із дробів, щоб отримати рівні знаменники.
Якщо позначити способи приведення дробів до одного знаменника, цей назвемо СПОСІБ ПЕРШИЙ.
Тобто відразу при «оцінці» дробу потрібно прикинути чи спрацює такий підхід – перевіряємо чи ділиться більший знаменник на менший. І якщо ділиться, то виконуємо перетворення - домножуємо чисельник і знаменник так, щоб у обох дробів знаменники стали рівними.
Тепер подивіться на ці приклади:
До них зазначений підхід не застосовується. Існують ще способи приведення дробів до спільного знаменника, розглянемо їх.
Спосіб ДРУГИЙ.
Помножуємо чисельник і знаменник першого дробу на знаменник другого, а чисельник і знаменник другого дробу на знаменник першого:
*Фактично ми наводимо дроби до виду, коли знаменники стають рівними. Далі використовуємо правило складання бояр з рівними знаменниками.
Приклад:
*Цей спосіб можна назвати універсальним, і він працює завжди. Єдиний мінус у тому, що після обчислень може вийде дріб, який необхідно буде ще скоротити.
Розглянемо приклад:
Видно, що чисельник і знаменник ділиться на 5:
Спосіб третій.
Необхідно знайти найменше загальне кратне (НОК) знаменників. Це буде спільний знаменник. Що за число таке? Це найменше натуральне число, яке поділяється на кожне із чисел.
Подивіться, ось два числа: 3 і 4, є безліч чисел, які діляться на них – це 12, 24, 36, … Найменше з них 12. Або 6 та 15, на них діляться 30, 60, 90…. Найменше 30. Питання – а як визначити це найменше загальне кратне?
Є чіткий алгоритм, але це можна зробити і відразу без обчислень. Наприклад, за наведеними вище прикладами (3 і 4, 6 і 15) ніякого алгоритму не треба, ми взяли великі числа (4 і 15) збільшили їх у два рази і побачили, що вони діляться на друге число, але пари чисел можуть бути і іншими, наприклад 51 та 119.
Алгоритм. Для того, щоб визначити найменше загальне кратне кількох чисел, необхідно:
- Розкласти кожне з чисел на прості множники
— виписати розкладання ВЕЛИКОГО з них
— помножити його на множники інших чисел, що НЕ ДОСТАВЛЯЮТЬ
Розглянемо приклади:
50 та 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
у розкладанні більшого числа не вистачає однієї п'ятірки
=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 та 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
у розкладанні більшого числа не вистачає двійки та трійки
=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Найменше загальне кратне двох простих чисел і їх твору
Запитання! А чим корисне знаходження найменшого загального кратного, адже можна користуватися другим способом і отриманий дріб просто скоротити? Так, можна, але це не завжди зручно. Подивіться, який вийде знаменник для чисел 48 і 72, якщо їх просто перемножити 48 72 = 3456. Погодьтеся, що приємніше працювати з меншими числами.
Розглянемо приклади:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
у розкладанні більшого числа не вистачає трійки
=> НОК(51,119) = 3∙7∙17
А тепер застосуємо перший спосіб:
*Погляньте яка різниця в обчисленнях, у першому випадку їх мінімум, а в другому потрібно попрацювати окремо на листочку, та ще й дріб, який отримали скоротити необхідно. Знаходження НОК значно спрощує роботу.
Ще приклади:
*У другому прикладі і так видно, що найменше число, яке ділиться на 40 і 60, дорівнює 120.
ПІДСУМОК! ЗАГАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ВИЧИСЛЕНЬ!
- Наводимо дроби до звичайних, якщо є ціла частина.
- Наводимо дроби до спільного знаменника (спочатку дивимося чи ділиться один знаменник на інший, якщо ділиться то множимо чисельник і знаменник цього іншого дробу; якщо не ділиться діє через інших зазначених вище способів).
- отримавши дроби з рівними знаменниками, виконуємо дії (додавання, віднімання).
- Якщо необхідно, то результат скорочуємо.
- Якщо необхідно, то виділяємо цілу частину.
2. Добуток дробів.
Правило просте. При множенні дробів множаться їх чисельники та знаменники:
Приклади:
1.Складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками
При додаванні дробів з однаковими знаменниками чисельники складають, а
При відніманні дробів з однаковими знаменниками з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, а знаменник залишають той самий.
Приклади:а); б) 
2.Складання та віднімання дробів з різними знаменниками
Щоб скласти (відняти) дроби з різними знаменниками, треба:
привести ці дроби до найменшого спільного знаменника
скласти (відняти) отримані дроби (як у пункті 1)
Приклади:а) 
; б) 
3.Складання та віднімання змішаних чисел
Щоб скласти змішані числа, треба:
привести дробові частини цих чисел до найменшого спільного знаменника;
окремо виконати складання цілих частин та окремо дробових частин. Якщо при додаванні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділити цілу частину з цього дробу і додати його до отриманої цілої частини.
Приклади:а) 
; б) 
Щоб виконати віднімання змішаних чисел, треба:
привести дробові частини цих чисел до найменшого спільного знаменника; якщо дробова частина меншого, що зменшується, дробової частини віднімається, перетворити її на неправильний дріб, зменшивши на одиницю цілу частину;
окремо виконати віднімання цілих частин та окремо дробових частин.
Приклади:а) 
; б)
4.Умноження дробів
а) Щоб помножити дріб на натуральне число, треба її чисельник помножити на це число, а знаменник залишити без зміни
Приклади: 
б) Щоб помножити дріб на дріб, Треба:
1) у чисельнику записати твір чисельників, у знаменнику – твір знаменників;
2) виконати скорочення (якщо можливо);
3) виконати множення
Приклади:а) 
; б) 
в) Для того, щоб виконати множення змішаних чисел, треба записати їх у вигляді неправильних дробів, а потім скористатися правилом множення дробів.
Приклади:
5.Поділ дробів
Щоб розділити один дріб на інший, треба поділити ділимо на число, зворотне дільнику
Ця стаття про звичайні дроби. Тут ми познайомимося з поняттям частки цілого, яке приведе нас до визначення звичайного дробу. Далі зупинимося на прийнятих позначеннях для звичайних дробів і наведемо приклади дробів, скажімо про чисельник та знаменник дробу. Після цього дамо визначення правильних та неправильних, позитивних та негативних дробів, а також розглянемо положення дробових чисел на координатному промені. На закінчення перерахуємо основні події з дробами.
Навігація на сторінці.
Частки цілого
Спочатку введемо поняття частки.
Припустимо, що ми маємо певний предмет, складений із кількох абсолютно однакових (тобто, рівних) частин. Для наочності можна, наприклад, яблуко, розрізане кілька рівних частин, чи апельсин, що з кількох рівних часточок. Кожну з цих рівних частин, що становлять цілий предмет, називають часткою цілогоабо просто часткою.
Зауважимо, що частки бувають різні. Пояснимо це. Нехай у нас є два яблука. Розріжемо перше яблуко на дві рівні частини, а друге – на шість рівних частин. Зрозуміло, частка першого яблука відрізнятиметься від частки другого яблука.
Залежно від кількості часток, що становлять цілий предмет, ці частки мають свої назви. Розберемо назви часток. Якщо предмет становлять дві частки, кожна їх називається одна друга частка цілого предмета; якщо предмет становлять три частки, то кожна з них називається одна третя частка, і таке інше.
Одна друга частка має спеціальну назву – половина. Одна третя частка називається третю, а одна четверна частка – чвертю.
Для стислості запису було введено такі позначення часток. Одну другу частку позначають як або 1/2, одну третю частку – як або 1/3; одну четверту частку - як або 1/4 і так далі. Зазначимо, що запис із горизонтальною характеристикою використовується частіше. Для закріплення матеріалу наведемо ще один приклад: запис означає одну сто шістдесят сьому частку цілого.
Поняття частки природно поширюється з предметів на величини. Наприклад, одним із заходів вимірювання довжини є метр. Для вимірювання довжин менших за метр можна використовувати частки метра. Так можна скористатися, наприклад, половиною метра або десятою або тисячною часткою метра. Аналогічно застосовуються частки інших величин.
Звичайні дроби, визначення та приклади дробів
Для опису кількості часток використовуються звичайні дроби. Наведемо приклад, який дозволить нам підійти до визначення звичайних дробів.
Нехай апельсин складається з 12 часток. Кожна частка у разі представляє одну дванадцяту частку цілого апельсина, тобто, . Дві частки позначимо як , три частки - як , і так далі, 12 часток позначимо як . Кожен із наведених записів називають звичайним дробом.
Тепер дамо спільне визначення звичайних дробів.
Озвучене визначення звичайних дробів дозволяє навести приклади звичайних дробів: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ось записи 
не підходять під озвучене визначення звичайних дробів, тобто не є звичайними дробами.
Чисельник і знаменник
Для зручності у звичайному дробі розрізняють чисельник та знаменник.
Визначення.
Чисельникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число m.
Визначення.
Знаменникзвичайного дробу (m/n ) – це натуральне число n .
Отже, чисельник розташований зверху над межею дробу (ліворуч від похилої межі), а знаменник – знизу під межею дробу (праворуч від похилої межі). Для прикладу наведемо звичайний дріб 17/29, чисельником цього дробу є число 17, а знаменником - число 29.
Залишилося обговорити зміст, укладений у чисельнику і знаменнику звичайного дробу. Знаменник дробу показує, з скільки частин складається один предмет, чисельник у свою чергу вказує кількість таких часток. Наприклад, знаменник 5 дробу 12/5 означає, що один предмет складається з п'яти часток, а чисельник 12 означає, що взято 12 таких часток.
Натуральне число як дріб із знаменником 1
Знаменник звичайного дробу може дорівнювати одиниці. У цьому випадку можна вважати, що предмет неподільний, іншими словами, є чимось цілим. Чисельник такого дробу вказує, скільки цілих предметів взято. Таким чином, звичайний дріб виду m/1 має сенс натурального числа m. Так ми довели справедливість рівності m/1=m .
Перепишемо останню рівність так: m=m/1. Ця рівність дає нам можливість будь-яке натуральне число m представляти у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 4 – це дріб 4/1, а число 103498 дорівнює дробу 103498/1.
Отже, будь-яке натуральне число m можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1 як m/1 , а будь-який звичайний дріб виду m/1 можна замінити натуральним числом m.
Чорта дробу як знак розподілу
Уявлення вихідного предмета як n часток є нічим іншим як поділ на n рівних частин. Після того, як предмет розділений на n частиною, ми можемо розділити порівну між n людьми – кожен отримає по одній частці.
Якщо ж у нас є спочатку m однакових предметів, кожен з яких розділений на n частиною, то ці m предметів ми можемо порівну поділити між n людьми, роздавши кожній людині по одній частці кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1/n, а m часткою 1/n дає звичайний дріб m/n. Таким чином, звичайний дріб m/n можна застосовувати для позначення розподілу предметів m між n людьми.
Так ми отримали явний зв'язок між звичайними дробами та поділом (дивіться загальне уявлення про розподіл натуральних чисел). Цей зв'язок виражається в наступному: рису дробу можна розуміти як знак розподілу, тобто m/n=m:n.
За допомогою звичайного дробу можна записати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло. Наприклад, результат розподілу 5 яблук на 8 чоловік можна записати як 5/8, тобто, кожному дістанеться п'ять восьмих часток яблука: 5:8 = 5/8.
Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів
Досить природною дією є порівняння звичайних дробів, адже зрозуміло, що 1/12 апельсина відрізняється від 5/12, а 1/6 частка яблука така сама, як інша 1/6 частка цього яблука.
В результаті порівняння двох звичайних дробів виходить один із результатів: дроби або рівні, або не рівні. У першому випадку ми маємо рівні звичайні дроби, а у другому – нерівні звичайні дроби. Дамо визначення рівних та нерівних звичайних дробів.
Визначення.
рівні, якщо справедлива рівність a d = b c .
Визначення.
Два звичайні дроби a/b та c/d не рівні, якщо рівність a d = b c не виконується.
Наведемо кілька прикладів рівних дробів. Наприклад, звичайний дріб 1/2 дорівнює дробу 2/4, так як 1 · 4 = 2 · 2 (при необхідності дивіться правила та приклади множення натуральних чисел). Для наочності можна уявити два однакових яблука, перше розрізане навпіл, а друге – на 4 частки. При цьому очевидно, що дві четверті частки яблука становлять 1/2 частку. Іншими прикладами рівних звичайних дробів є дроби 4/7 і 36/63, а також пара дробів 81/50 та 1620/1000.
А прості дроби 4/13 і 5/14 не рівні, оскільки 4·14=56 , а 13·5=65 , тобто, 4·14≠13·5 . Іншим прикладом нерівних звичайних дробів є дроби 17/7 та 6/4.
Якщо при порівнянні двох звичайних дробів з'ясувалося, що вони не рівні, то можливо знадобиться дізнатися, який із цих звичайних дробів меншеінший, а яка – більше. Щоб це з'ясувати, використовується правило порівняння звичайних дробів, суть якого зводиться до приведення порівнюваних дробів до спільного знаменника та подальшого порівняння чисельників. Детальна інформація з цієї теми зібрана у статті порівняння дробів: правила, приклади, рішення.
Дробові числа
Кожен дріб є записом дробового числа. Тобто, дріб – це лише «оболонка» дробового числа, його зовнішній вигляд, а все смислове навантаження міститься саме в дробовому числі. Однак для стислості та зручності поняття дробу та дробового числа поєднують і говорять просто дріб. Тут доречно перефразувати відомий вислів: ми говоримо дріб – маємо на увазі дробове число, ми говоримо дробове число – маємо на увазі дріб.
Дроби на координатному промені
Всі дробові числа, що відповідають звичайним дробам, мають своє унікальне місце на тобто існує взаємно однозначна відповідність між дробами і точками координатного променя.
Щоб на координатному промені потрапити в точку, що відповідає дробу m/n, потрібно від початку координат у позитивному напрямку відкласти m відрізків, довжина яких становить 1/n частку одиничного відрізка. Такі відрізки можна отримати, розділивши одиничний відрізок на n рівних частин, що можна зробити з допомогою циркуля і лінійки.
Наприклад покажемо точку М на координатному промені, відповідну дробу 14/10 . Довжина відрізка з кінцями в точці O і найближчої до неї точці, позначеної маленьким штрихом, становить 1/10 частку одиничного відрізка. Крапка з координатою 14/10 віддалена від початку координат на відстань 14 таких відрізків.
Рівним дробам відповідає те саме дробове число, тобто, рівні дроби є координатами однієї й тієї ж точки на координатному промені. Наприклад, координатам 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатному промені відповідає одна точка, оскільки всі записані дроби рівні (вона розташована на відстані половини одиничного відрізка, відкладеного від початку відліку в позитивному напрямку).
На горизонтальному і спрямованому праворуч координатному промені точка, координатою якої є великий дріб, розташовується правіше точки, координатою якої є менший дріб. Аналогічно, точка з меншою координатою лежить лівіше від точки з більшою координатою.
Правильні та неправильні дроби, визначення, приклади
Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні дроби. Цей поділ у своїй основі має порівняння чисельника та знаменника.
Дамо визначення правильних і неправильних звичайних дробів.
Визначення.
Правильний дріб– це звичайний дріб, чисельник якого менший за знаменник, тобто, якщо m Визначення.
Неправильний дріб– це звичайний дріб, у якому чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто якщо m≥n , то звичайний дріб є неправильним. Наведемо кілька прикладів правильних дробів: 1/4 , 32 765/909 003 . Дійсно, у кожному із записаних звичайних дробів чисельник менший за знаменник (за потреби дивіться статтю порівняння натуральних чисел), тому вони правильні за визначенням. А ось приклади неправильних дробів: 9/9, 23/4,. Справді, чисельник першою із записаних звичайних дробів дорівнює знаменнику, а інших дробах чисельник більше знаменника. Також мають місце визначення правильних та неправильних дробів, що базуються на порівнянні дробів з одиницею. Визначення. правильноюякщо вона менше одиниці. Визначення. Звичайний дріб називається неправильною, Якщо вона або дорівнює одиниці, або більше 1 . Так звичайний дріб 7/11 – правильний, оскільки 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, а 27/27=1. Давайте поміркуємо, чим звичайні дроби з чисельником, вищим або рівним знаменнику, заслужили таку назву - «неправильні». Для прикладу візьмемо неправильний дріб 9/9. Цей дріб означає, що взято дев'ять часток предмета, що складається з дев'яти часток. Тобто з наявних дев'яти часток ми можемо скласти цілий предмет. Тобто, неправильний дріб 9/9 насправді дає цілий предмет, тобто, 9/9=1 . Взагалі, неправильні дроби з чисельником рівним знаменнику позначають один цілий предмет, і такий дріб може замінити натуральне число 1 . Тепер розглянемо неправильні дроби 7/3 та 12/4. Досить очевидно, що з цих семи третіх часток ми можемо скласти два цілих предмети (один цілий предмет складають 3 частки, тоді для складання двох цілих предметів нам знадобиться 3+3=6 часток) і залишиться ще одна третя частка. Тобто неправильний дріб 7/3 по суті означає 2 предмети та ще 1/3 частку такого предмета. А з дванадцяти четвертих часток ми можемо скласти три цілих предмети (три предмети по чотири частки в кожному). Тобто, дріб 12/4 насправді означає 3 цілих предмета. Розглянуті приклади приводять нас до наступного висновку: неправильні дроби, можуть бути замінені або натуральними числами, коли чисельник ділиться націло на знаменник (наприклад, 9/9=1 і 12/4=3 ), або сумою натурального числа та правильного дробу, коли чисельник не ділиться націло на знаменник (наприклад, 7/3=2+1/3). Можливо, саме цим і заслужили неправильні дроби таку назву - "неправильні". Окремий інтерес викликає подання неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (7/3=2+1/3). Цей процес називається виділенням цілої частини з неправильного дробу, і заслуговує на окремий і більш уважний розгляд. Також варто зауважити, що існує дуже тісний зв'язок між неправильними дробами та змішаними числами. Кожен звичайний дріб відповідає позитивному дробовому числу (дивіться статтю позитивні та негативні числа). Тобто, звичайні дроби є позитивними дробами. Наприклад, прості дроби 1/5 , 56/18 , 35/144 – позитивні дроби. Коли потрібно особливо виділити позитивність дробу, перед нею ставиться знак плюс, наприклад, +3/4 , +72/34 . Якщо перед звичайним дробом поставити знак мінус, то цей запис відповідатиме негативному дробовому числу. У цьому випадку можна говорити про негативних дробах. Наведемо кілька прикладів негативних дробів: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Позитивний і негативний дроби m/n і −m/n є протилежними числами . Наприклад, дроби 5/7 та −5/7 – протилежні дроби. Позитивні дроби, як і позитивні числа загалом, позначають додаток, дохід, зміна будь-якої величини у бік збільшення тощо. Негативні дроби відповідають витратам, боргу, зміні будь-якої величини у бік зменшення. Наприклад, негативний дріб −3/4 можна трактувати як борг, величина якого дорівнює 3/4 . На горизонтальній і спрямованій праворуч негативні дроби розташовуються лівіше початку відліку. Точки координатної прямої, координатами яких є позитивний дріб m/n і негативний дріб m/n розташовані на однаковій відстані від початку координат, але по різні сторони від точки O . Тут варто сказати про дроби виду 0/n . Ці дроби дорівнюють числу нуль, тобто, 0/n=0 . Позитивні дроби, негативні дроби, і навіть дроби 0/n об'єднуються у раціональні числа . Одна дія зі звичайними дробами – порівняння дробів – ми вже розглянули вище. Визначено ще чотири арифметичні дії з дробами– додавання, віднімання, множення та поділ дробів. Зупинимося кожному з них. Загальна суть дій із дробами аналогічна суті відповідних дій із натуральними числами. Проведемо аналогію. Розмноження дробівможна розглядати як дію, при якій знаходиться дріб від дробу. Для пояснення наведемо приклад. Нехай ми маємо 1/6 частину яблука і нам потрібно взяти 2/3 частини від неї. Потрібна нам частина є результатом множення дробів 1/6 та 2/3. Результатом множення двох звичайних дробів є звичайний дріб (який окремо дорівнює натуральному числу). Далі рекомендуємо до вивчення інформацію статті множення дробів – правила, приклади та рішення. Список літератури. Ця стаття розглядає дії над дробами. Будуть сформовані та обґрунтовані правила додавання, віднімання, множення, поділу або зведення в ступінь дробів виду A B , де A і B можуть бути числами, числовими виразами або виразами зі змінними. Наприкінці будуть розглянуті приклади рішення з докладним описом. Числові дроби загального вигляду мають чисельник та знаменник, у яких є натуральні числа чи числові вирази. Якщо розглянути такі дроби, як 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 · 3 4 · (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 · 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , то видно, що чисельник і знаменник може мати не тільки числа, а й різного плану. Визначення 1 Існують правила, за якими йде виконання дій із звичайними дробами. Воно підходить і для дробів загального вигляду: Існують такі математичні моменти, куди слід спиратися при обчисленні: З їх допомогою можна проводити перетворення виду: a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d У попередньому пункті було сказано про події з дробами. Саме після цього дріб потребує спрощення. Докладно цю тему було розглянуто у пункті перетворення дробів. Для початку розглянемо приклад додавання та віднімання дробів з однаковим знаменником. Приклад 1 Дано дробу 8 2 , 7 і 1 2 , 7 , то за правилом необхідно чисельник скласти, а знаменник переписати. Рішення
Тоді одержуємо дріб виду 8 + 1 2 , 7 . Після виконання додавання отримуємо дріб виду 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 . Отже, 8 2 , 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 . Відповідь: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3 Є інший спосіб розв'язання. Для початку виробляється перехід до виду звичайного дробу, після чого виконуємо спрощення. Це виглядає таким чином: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3 Приклад 2 Зробимо віднімання з 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 дробу виду 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 . Оскільки дані рівні знаменники, отже, ми виконуємо обчислення дробу при однаковому знаменнику. Отримаємо, що 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 Є приклади обчислення дробів із різними знаменниками. Важливий пункт – це приведення до спільного знаменника. Без цього ми зможемо виконувати подальші дії з дробами. Процес віддалено нагадує приведення до спільного знаменника. Тобто проводиться пошук найменшого спільного дільника в знаменнику, після чого додаються множники, що бракують, до дробів. Якщо дроби, що складаються, не мають загальних множників, тоді ним може стати їх твір. Приклад 3 Розглянемо з прикладу складання дробів 2 3 5 + 1 і 1 2 . Рішення
У разі спільним знаменником виступає твір знаменників. Тоді одержуємо, що 2 · 3 5 + 1 . Тоді при виставленні додаткових множників маємо, що до першого дробу він дорівнює 2, а до другого 35+1. Після перемноження дробу наводяться до вигляду 4 2 · 3 5 + 1 . Загальне приведення 1 2 матиме вигляд 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Отримані дробові вирази складаємо та отримуємо, що 2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 · 2 2 · 3 5 + 1 + 1 · 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = = 4 2 · 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1 Відповідь: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1 Коли маємо справу з дробами загального вигляду, тоді про найменшого спільного знаменника зазвичай не йдеться. Як знаменник нерентабельно приймати твір чисельників. Спочатку необхідно перевірити, чи є число, яке менше за значенням, ніж їх твір. Приклад 4 Розглянемо з прикладу 1 6 · 2 1 5 і 1 4 · 2 3 5 , коли їх добуток дорівнює 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 . Тоді як спільний знаменник беремо 12 · 2 3 5 . Розглянемо приклади множення дробів загального виду. Приклад 5 Для цього необхідно зробити множення 2 + 1 6 та 2 · 5 3 · 2 + 1 . Рішення
Дотримуючись правила, необхідно переписати і у вигляді знаменника написати твір чисельників. Отримуємо, що 2 + 1 6 · 2 · 5 3 · 2 + 1 2 + 1 · 2 · 5 6 · 3 · 2 + 1 . Коли дріб буде помножено, можна робити скорочення для його спрощення. Тоді 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10 . Використовуючи правило переходу від розподілу до множення на зворотний дріб, отримаємо дріб, зворотний даній. Для цього чисельник та знаменник змінюються місцями. Розглянемо з прикладу: 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10 Після чого повинні виконати множення та спростити отриманий дріб. Якщо необхідно, то позбутися ірраціональності у знаменнику. Отримуємо, що 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 · 9 3 10 · 2 + 1 = 5 · 2 10 · 2 + 1 = 3 2 · 2 + 1 = = 3 · 2 - 1 2 · 2 + 1 · 2 - 1 = 3 · 2 - 1 2 · 2 2 - 1 2 = 3 · 2 - 1 2 Відповідь: 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 · 2 - 1 2 Даний пункт застосуємо, коли число або числове вираз може бути представлене у вигляді дробу, що має знаменник, рівний 1 тоді і дія з таким дробом розглядається окремим пунктом. Наприклад, вираз 1 6 · 7 4 - 1 · 3 видно, що корінь із 3 може бути замінений іншим 3 1 виразом. Тоді цей запис виглядатиме як множення двох дробів виду 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 . Правила, розглянуті у першій статті, застосовуються для дій з дробами, які містять змінні. Розглянемо правило віднімання, коли знаменники однакові. Необхідно довести, що A , C і D (D не дорівнює нулю) можуть бути будь-якими виразами, причому рівність A D ± C D = A ± C D рівноцінно з його областю допустимих значень. Необхідно взяти набір змінних ОДЗ. Тоді А, С, D повинні набувати відповідних значень a 0 , c 0 і d 0. Підстановка виду A D ± C D наводить різницю виду a 0 d 0 ± c 0 d 0 де за правилом складання отримуємо формулу виду a 0 ± c 0 d 0 . Якщо підставити вираз A ± C D , тоді отримуємо той самий дріб виду a 0 ± c 0 d 0 . Звідси робимо висновок, що обране значення, що задовольняє ОДЗ, A±CD та AD±CD вважаються рівними. За будь-якого значення змінних дані вирази будуть рівні, тобто їх називають тотожно рівними. Значить цей вираз вважається рівністю виду A D ± C D = A ± C D . Коли є однакові знаменники, необхідно лише складати чи віднімати чисельники. Такий дріб може бути спрощений. Іноді доводиться працювати з дробами, які є тотожними, але при першому погляді це непомітно, так як необхідно виконувати деякі перетворення. Наприклад, x 2 3 · x 1 3 + 1 і x 1 3 + 1 2 або 1 2 · sin 2 α і sin a · cos a . Найчастіше потрібно спрощення вихідного висловлювання у тому, щоб побачити однакові знаменники. Приклад 6 Обчислити: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x-1+xx+1. Рішення
Розглянемо подвійний спосіб розв'язання. Перший спосіб полягає в тому, що знаменник першого дробу розкладається на множники за допомогою квадратів, причому з її подальшим скороченням. Отримаємо дріб виду x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) · x + 1 = 1 x + 1 Отже, x – 1 x – 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 . У такому разі необхідно позбавлятися ірраціональності в знаменнику. 1 + x x + 1 = 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 Другий спосіб полягає в множенні чисельника та знаменника другого дробу на вираз x-1. Таким чином, ми позбавляємося ірраціональності та переходимо до складання дробу за наявності однакового знаменника. Тоді x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = = x - 1 x - 1 + x · x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 Відповідь: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 . В останньому прикладі отримали, що приведення до спільного знаменника неминуче. Для цього потрібно спрощувати дроби. Для складання або віднімання завжди необхідно шукати спільний знаменник, який виглядає як добуток знаменників з додаванням додаткових множників до чисельників. Приклад 7 Обчислити значення дробів: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 , 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) - sin x x 5 · ln (x + 1) · (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x Рішення
Після чого отримуємо, що 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = = 1 cos x - x · cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x · cos x + x 2 + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 Відповідь: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 · x + 3 3 · x 7 + 2 · 2, 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 . При множенні дробів чисельник множиться на чисельник, а знаменник – на знаменник. Тоді можна використовувати властивість скорочення. Приклад 8 Здійснити множення дробів x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 і 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x. Рішення
Необхідно виконати множення. Отримуємо, що x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = = x - 2 · x · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) Число 3 переноситься на перше місце для зручності підрахунків, причому можна зробити скорочення дробу на x 2 тоді отримаємо вираз виду 3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) Відповідь: x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = 3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) . Розподіл у дробів аналогічний множенню, тому що перший дріб множать на другий зворотний. Якщо взяти наприклад дріб x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 і розділити на 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x тоді це можна записати таким чином, як x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , після чого замінити твором виду x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) Перейдемо до розгляду дії з дробами загального виду зі зведенням у ступінь. Якщо є ступінь із натуральним показником, тоді дію розглядають як множення однакових дробів. Але рекомендовано використовувати загальний підхід, що базується на властивостях ступеня. Будь-які вирази А і С, де С тотожно не дорівнює нулю, а будь-яке дійсне r на ОДЗ для виразу виду A C r справедлива рівність A C r = A r C r . Результат – дріб, зведений у ступінь. Наприклад розглянемо: x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5 Дії над дробами виконуються за певними правилами. Насправді помічаємо, що вираз може містити кілька дробів чи дробових виразів. Тоді необхідно всі дії виконувати у строгому порядку: зводити у ступінь, множити, ділити, після чого складати та віднімати. За наявності дужок перша дія виконується саме в них. Приклад 9 Обчислити 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x. Рішення
Так як маємо однаковий знаменник, то 1 - x cos x і 1 c o s x , але робити віднімання за правилом не можна, спочатку виконуються дії в дужках, після чого множення, а потім додавання. Тоді при обчисленні отримуємо, що 1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x При підстановці виразу вихідне отримуємо, що 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x . При множенні дробів маємо: 1 cos x x 1 x = x + 1 cos x x . Зробивши всі підстановки, отримаємо 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Тепер потрібно працювати з дробами, які мають різні знаменники. Отримаємо: x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x · x Відповідь: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x. Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter 496.
Знайти х, якщо: 497.
1) Якщо до 3/10 невідомого числа додати 10 1/2, то вийде 13 1/2. Знайти невідоме число. 2) Якщо від 7/10 невідомого числа відняти 10 1/2, то вийде 15 2/5. Знайти невідоме число. 498
*. Якщо з 3/4 невідомого числа відняти 10 та отриману різницю помножити на 5, то вийде 100. Знайти число. 499
*. Якщо невідоме число збільшити на 2/3 його, то вийде 60. Яке число? 500
*. Якщо до невідомого числа додати стільки ж, та ще 20 1/3, то вийде 105 2/5. Знайти невідоме число. 501.
1) Урожай картоплі при квадратно-гніздовій посадці складає в середньому 150 ц з 1 га, а при звичайній посадці 3/5 цієї кількості. На скільки більше можна зібрати картоплі з площі 15 га, якщо посадку картоплі робити квадратно-гніздовим способом? 2) Досвідчений робітник виготовив за 1 годину 18 деталей, а малодосвідчений 2/3 цієї кількості. На скільки більше деталей виготовить досвідчений робітник за 7-годинний робочий день? 502.
1) Піонери зібрали протягом трьох днів 56 кг різних насіння. У перший день було зібрано 3/14 усієї кількості, у другий - у півтора рази більше, а в третій день - інше зерно. Скільки кілограмів насіння зібрали піонери третього дня? 2) При розмелі пшениці вийшло: борошна 4/5 усієї кількості пшениці, манної крупи - в 40 разів менше, ніж борошна, а решта - висівки. Скільки борошна, манної крупи та висівок окремо вийшло за розмелювання 3 т пшениці? 503.
1) У трьох гаражах міститься 460 машин. Число машин, що поміщаються в першому гаражі, становить 3/4 числа машин, що поміщаються у другому, а в третьому гаражі в 1 1/2 рази більше машин, ніж у першому. Скільки машин міститься у кожному гаражі? 2) На заводі, що має три цехи, працює 6000 робітників. У другому цеху працює в 1 1/2 рази менше, ніж у першому, а число робітників третього цеху становить 5/6 числа робітників другого цеху. Скільки робітників у кожному цеху? 504.
1) З резервуару з гасом відлили спочатку 2/5, потім 1/3 всього гасу і після цього в резервуарі залишилося 8 т гасу. Скільки гасу було в резервуарі спочатку? 2) Велосипедисти вели перегони протягом трьох днів. Першого дня вони проїхали 4/15 всього шляху, другого — 2/5, а третій день залишилися 100 км. Який шлях проїхали велосипедисти за три дні? 505.
1) Криголам три дні пробивався через крижане поле. У перший день він пройшов 1/2 всього шляху, у другий день 3/5 шляху, що залишився, і в третій день решта 24 км. Знайти довжину шляху, пройденого криголамом за три дні. 2) Три загони школярів проводили посадку дерев із озеленення села. Перший загін посадив 7/20 всіх дерев, другий 5/8 дерев, що залишилися, а третій решту 195 дерев. Скільки дерев посадили три загони? 506.
1) Комбайнер забрав урожай пшениці з однієї ділянки за три дні. У перший день він прибрав урожай з 5/18 усієї площі ділянки, у другий день з 7/13 площі, що залишилася, і в третій день - з решти площі в 30 1/2 га. Загалом із кожного гектара зібрано 20 ц пшениці. Скільки пшениці було зібрано на всій ділянці? 2) Учасники автопробігу в перший день пройшли 3/11 всього шляху, у другий день 7/20 шляху, що залишився, в третій день 5/13 нового залишку, а в четвертий день-решта 320 км. Як великий шлях автопробігу? 507.
1) Автомобіль пройшов у перший день 3/8 всього шляху, у другий 15/17 того, що пройшов у перший, і в третій день решта 200 км. Скільки бензину було витрачено, якщо на 10 км шляху автомобіль витрачає 1 3/5 кг бензину? 2) Місто складається із чотирьох районів. І в першому районі живе 4/13 всіх жителів міста, у другому 5/6 числа жителів першого району, у третьому 4/11 числа жителів перших; двох районів разом узятих, а в четвертому районі мешкає 18 тисяч осіб. Скільки хліба потрібно всьому населенню міста на 3 дні, якщо в середньому одна людина споживає 500 г на день? 508.
1) Турист пройшов у перший день 10/31 всього шляху, у другий 9/10 того, що пройшов у перший день, а в третій решту шляху, причому у третій день він пройшов на 12 км більше, ніж у другий день. Скільки кілометрів пройшов турист за кожен із трьох днів? 2) Весь шлях від міста А до міста Б автомобіль пройшов три дні. У перший день автомобіль пройшов 7/20 всього шляху, у другий 8/13 дороги, що залишився, а в третій день автомобіль пройшов на 72 км менше, ніж у перший день. Яка відстань між містами А та Б? 509.
1) Виконком відвів землю робітникам трьох заводів під садові ділянки. Першому заводу було відведено 9/25 усієї кількості ділянок, другому заводу 5/9 числа ділянок, відведених для першої, а третьому – інші ділянки. Скільки всього ділянок було відведено робітникам трьох заводів, якщо першому заводу було відведено на 50 ділянок менше, ніж третій? 2) Літак доставив зміну зимівників на полярну станцію з Москви за три дні. У перший день він пролетів 2/5 всього шляху, у другий - 5/6 шляху, пройденого ним за перший день, а в третій день він пролетів на 500 км. менше, ніж у другий день. Яку відстань пролетів літак за три дні? 510.
1) Завод мав три цехи. Число робітників першого цеху становить 2/5 всіх робітників заводу; у другому цеху робітників у 1 1/2 рази менше, ніж у першому, а у третьому цеху на 100 робітників більше, ніж у другому. Скільки всього робітників на заводі? 2) До колгоспу входять мешканці трьох сусідніх сіл. Число сімей першого села складає 3/10 всіх сімей колгоспу; у другому селі число сімей у 1 1/2 рази більше, ніж у першому, а у третьому селі число сімей на 420 менше, ніж у другому. Скільки всього сімей у колгоспі? 511.
1) Артель витратила першого тижня 1 / 3 наявного в неї запасу сировини, тоді як у другу 1 / 3 залишку. Скільки сировини залишилося в артілі, якщо першого тижня витрата сировини була на 3/5 т більша, ніж другого тижня? 2) Із завезеного вугілля для опалення будинку у перший місяць було витрачено 1/6 його частину, а у другий місяць – 3/8 залишку. Скільки вугілля залишилося для опалення будинку, якщо другого місяця було витрачено на 1 3 / 4 більше, ніж першого місяця? 512.
3/5 всієї землі колгоспу відведено під посів зерна, 13/36 залишку зайнято городами та луком, решта землі - лісом, причому посівна площа колгоспу на 217 га більша за площу лісу, 1/3 землі, відведеної під посіви зерна, засіяна житом, а решта-пшеницею. Скільки гектарів землі засіяв колгосп пшеницею та скільки житом? 513.
1) Трамвайний маршрут має завдовжки 14 3 / 8 км. Протягом цього маршруту трамвай робить 18 зупинок, витрачаючи в середньому на кожну зупинку до 11/6 хв. Середня швидкість руху трамвая на всьому маршруті 12 1/2 км на годину. Скільки часу потрібно трамваю для одного рейсу? 2) Маршрут автобуса 16 км. Протягом цього маршруту автобус робить 36 зупинок по 3/4 хв. у середньому кожна. Середня швидкість автобуса 30 км на годину. Скільки часу потрібно автобусу на маршрут? 514*. 1) Зараз 6 год. вечора. Яку частину становить частина доби від минулої і яка частина доби залишилася? 2) Пароплав за течією проходить відстань між двома містами за 3 добу. і назад це відстань за 4 сут. Скільки діб плитимуть за течією плоти від одного міста до іншого? 515.
1) Скільки дощок піде на настилку підлоги в кімнаті, довжина якої 6 2/3 м, ширина 5 1/4 м, якщо довжина кожної дошки 6 2/3 м, а її ширина становить 3/80 довжини? 2) Майданчик прямокутної форми має довжину 45 1/2 м, а її ширина становить 5/13 довжини. Цей майданчик облямовує доріжка шириною 4/5 м. Знайти площу доріжки. 516.
Знайти середнє арифметичне чисел: 517.
1) Середнє арифметичне двох чисел 6 1/6. Одне із чисел 3 3/4 . Знайти інше число. 2) Середнє арифметичне двох чисел 14 1/4. Одне з цих чисел 15 5/6. Знайти інше число. 518.
1) Товарний поїзд був у дорозі три години. За першу годину він пройшов 36 1/2 км, за другу 40 км і за третю 39 3/4 км. Знайти середню швидкість поїзда. 2) Автомобіль за перші дві години пройшов 81 1/2 км, а за наступні 2 1/2 години 95 км. Скільки кілометрів у середньому він проходив за годину? 519.
1) Тракторист виконав завдання з оранці землі за три дні. У перший день він зорав 12 1/2 га, другого дня 15 3/4 га і в третій день 14 1/2 га. Скільки загалом гектарів землі зорав тракторист за день? 2) Загін школярів, здійснюючи туристський триденний похід, знаходився в дорозі в перший день 6 1/3 години, в другій 7 год. і на третій день - 4 2/3 години. Скільки годин у середньому перебували щодня у дорозі школярі? 520.
1) У будинку мешкають три сім'ї. Перша сім'я для освітлення квартири має 3 електричні лампочки, друга 4 та третя 5 лампочок. Скільки має заплатити кожна сім'я за електроенергію, якщо всі лампи були однакові, а загальний рахунок (на весь будинок) оплати електроенергії був 7 1/5 руб.? 2) Полотер натирав підлоги у квартирі, де жили три сім'ї. Перша сім'я мала житлову площу в 36 1/2 кв. м, друга у 24 1/2 кв. м, а третя – у 43 кв. м. За всю роботу було сплачено 2 руб. 08 коп. Скільки заплатила кожна сім'я? 521.
1) На городній ділянці зібрано картоплі з 50 кущів по 1 1/10 кг з одного куща, з 70 кущів по 4/5 кг з одного куща, з 80 кущів по 9/10 кг з одного куща. Скільки кілограмів картоплі загалом зібрано з кожного куща? 2) Полівнича бригада на площі 300 га отримала врожай по 20 1/2 ц озимої пшениці з 1 га, з 80 га по 24 ц з 1 га та з 20 га - по 28 1/2 ц з 1 га. Чому дорівнює середній урожай у бригаді з 1 га? 522.
1) Сума двох чисел 7 1/2. Одне число більше за інше на 4 4 / 5 . Знайти ці цифри. 2) Якщо скласти числа, що виражають ширину Татарської та ширину Керченської проток разом, то отримаємо 11 7 / 10 км. Татарська протока на 3 1/10 км ширша за Керченський. Яка ширина кожної протоки? 523.
1) Сума трьох чисел 35 2/3. Перше число більше за друге на 5 1/3 і більше третього на 3 5/6. Знайти ці цифри. 2) Острови Нова Земля, Сахалін та Північна Земля разом займають площу 196 7/10 тис. кв. км. Площа Нової Землі на 44 1/10 тис. кв. км більше площі Північної Землі та на 5 1/5 тис. кв. км більше площі Сахаліну. Якою є площа кожного з перерахованих островів? 524.
1) Квартира складається із трьох кімнат. Площа першої кімнати 24 3/8 кв. м і становить 13/36 всієї площі квартири. Площа другої кімнати на 8 1/8 кв. м більше, ніж площа третьої. Яка площа другої кімнати? 2) Велосипедист під час триденних змагань у перший день був у дорозі 3 1/4 години, що становило 13/43 всього часу у дорозі. На другий день він їхав на 1 1/2 години більше, ніж у третій день. Скільки годин велосипедист був у дорозі другого дня змагань? 525.
Три шматки заліза важать разом 17 1/4 кг. Якщо вага першого шматка зменшити на 1 1/2 кг, вага другого на 2 1/4 кг, то всі три шматки матимуть однакову вагу. Скільки важив кожен шматок заліза? 526.
1) Сума двох чисел 15 1/5. Якщо перше число зменшити на 3 1/10, а друге збільшити на 3 1/10, то ці числа дорівнюватимуть. Чому дорівнює кожне число? 2) У двох ящиках було 38 1/4 кг крупи. Якщо з одного ящика пересипати в інший 43/4 кг крупи, то в обох ящиках стане крупи порівну. Скільки крупи у кожному ящику? 527
. 1) Сума двох чисел дорівнює 17 17/30. Якщо від першого числа відняти 5 1 / 2 і додати до другого, то перше буде все-таки більше за друге на 2 17 / 30 . Знайти обидва числа. 2) У двох ящиках 24 1/4 кг яблук. Якщо з першої скриньки перекласти у другій 3 1/2 кг, то в першій таки буде яблук на 3/5 кг більше, ніж у другій. Скільки кілограмів яблук у кожному ящику? 528
*. 1) Сума двох чисел 8 11/14, а різниця їх 2 3/7. Знайти ці цифри. 2) Катер за течією річки йшов зі швидкістю 15 1/2 км на годину, а проти течії 8 1/4 км на годину. Яка швидкість течії річки? 529.
1) У двох гаражах 110 машин, причому в одному з них у 1 1/5 рази більше, ніж в іншому. Скільки машин у кожному гаражі? 2) Житлова площа квартири, що складається з двох кімнат, дорівнює 47 1/2 кв. м. Площа однієї кімнати становить 8/11 площі іншої. Знайти площу кожної кімнати. 530.
1) Сплав, що складається з міді та срібла, важить 330 г. Вага міді у цьому сплаві становить 5/28 ваги срібла. Скільки у сплаві срібла та скільки міді? 2) Сума двох чисел 6 3/4, а частка 3 1/2. Знайти ці цифри. 531.
Сума трьох чисел 22 1/2. Друге число в 3 1/2 рази, а третє в 2 1/4 рази більше за перший. Знайти ці цифри. 532.
1) Різниця двох чисел 7; приватне від поділу більшого числа на менше 5 2/3 . Знайти ці цифри. 2) Різниця двох чисел 29 3/8, а кратне відношення їх дорівнює 8 5/6. Знайти ці цифри. 533.
У класі число відсутніх учнів дорівнює 3/13 числа присутніх. Скільки учнів у класі за списком, якщо є на 20 осіб більше, ніж відсутнє? 534.
1) Різниця двох чисел 3 1/5. Одне число становить 5/7 іншого. Знайти ці цифри. 2) Батько старший за сина на 24 роки. Число років сина дорівнює 5/13 числа років батька. Скільки років батькові та скільки синові? 535.
Знаменник дробу на 11 одиниць більший за його чисельник. Чому дорівнює дріб, якщо її знаменник у 3 3 / 4 рази більший від чисельника? № 536 – 537 усно. 536.
1) Перше число становить 1/2 другого. У скільки разів друге число більше першого? 2) Перше число становить 3/2 другого. Яку частину першого числа становить друге число? 537.
1) 1/2 першого числа дорівнює 1/3 другого числа. Яку частину першого числа становить друге число? 2) 2/3 першого числа дорівнюють 3/4 другого числа. Яку частину першого числа становить друге число? Яку частину другого числа становить перша? 538.
1) Сума двох чисел дорівнює 16. Знайти ці числа, якщо 1/3 другого числа дорівнює 1/5 першого. 2) Сума двох чисел дорівнює 38. Знайти ці числа, якщо 2/3 першого числа дорівнюють 3/5 другого. 539
*. 1) Два хлопчики зібрали разом 100 грибів. 3/8 числа грибів, зібраних першим хлопчиком, чисельно дорівнюють 1/4 числа грибів, зібраних другим хлопчиком. Скільки грибів зібрав кожен хлопчик? 2) У закладі працює 27 осіб. Скільки працює чоловіків і скільки жінок, якщо 2/5 числа всіх чоловіків дорівнюють 3/5 числа всіх жінок? 540
*. Три хлопчики купили волейбольний м'яч. Визначити внесок кожного хлопчика, знаючи, що 1/2 внеску першого хлопчика дорівнює 1/3 внеску другого, або 1/4 внеску третього, і що внесок третього хлопчика більший за внесок першого на 64 коп. 541
*. 1) Одне число більше за інше на 6. Знайти ці числа, якщо 2/5 одного числа дорівнюють 2/3 іншого. 2) Різниця двох чисел дорівнює 35. Знайти ці числа, якщо 1/3 першого числа дорівнює 3/4 другого числа. 542.
1) Перша бригада може виконати деяку роботу за 36 днів, а друга за 45 днів. За скільки днів обидві бригади, працюючи разом, виконають цю роботу? 2) Пасажирський поїзд проходить відстань між двома містами за 10 год, а товарний цей відстань проходить за 15 год. Обидва поїзди вийшли одночасно із цих міст назустріч один одному. За скільки годин вони зустрінуться? 543.
1) Швидкий поїзд проходить відстань між двома містами за 6 1/4 години, а пасажирський за 7 1/2 години. Через скільки годин зустрінуться ці поїзди, якщо вони вийдуть із обох міст одночасно назустріч один одному? (Відповідь округлити з точністю до 1 години.) 2) Два мотоциклісти виїхали одночасно з двох міст назустріч одне одному. Один мотоцикліст може проїхати всю відстань між цими містами за 6:00, а інший за 5:00. За скільки годин після виїзду зустрінуться мотоциклісти? (Відповідь округлити з точністю до 1 години.) 544.
1) Три автомобілі різної вантажопідйомності можуть перевезти деякий вантаж, працюючи окремо: перший за 10 год, другий за 12 год. і третя за 15 годин За скільки годин вони можуть перевезти той же вантаж, працюючи спільно? 2) З двох станцій виходять одночасно назустріч один одному два поїзди: перший поїзд проходить відстань між цими станціями за 12 1/2 години, а другий за 18 3/4 години. За скільки годин після виходу поїзди зустрінуться? 545.
1) До ванни підведено два крани. Через один із них ванна може наповнитися за 12 хв., через інший у 1 1/2 рази швидше. За скільки хвилин наповниться 5/6 всієї ванни, якщо відкрити відразу обидва крани? 2) Дві друкарки повинні передрукувати рукопис. Перша ашиністка може виконати цю роботу за 3 1/3 дні, а друга в 1 1/2 рази швидше. У скільки днів виконають роботу обидві друкарки, якщо вони працюватимуть одночасно? 546.
1) Басейн наповнюється першою трубою за 5 годин, а через другу трубу він може бути випорожнений за 6 годин Через скільки годин буде наповнений весь басейн, якщо одночасно відкрити обидві труби? Вказівка. За годину басейн наповнюється на (1/5 – 1/6 своєї ємності.) 2) Два трактори зорали поле за 6 год. Перший трактор, працюючи один, міг би зорати це поле за 15 годин За скільки годин зорав би це поле другий трактор, працюючи один? 547
*. З двох станцій виходять одночасно назустріч один одному два потяги та зустрічаються через 18 год. після виходу. За скільки часу другий поїзд проходить відстань між станціями, якщо перший поїзд проходить цю відстань за 1 добу 21 год? 548
*. Басейн наповнюється двома трубами. Спочатку відкрили першу трубу, а потім через 33/4 години, коли наповнилася половина басейну, відкрили другу трубу. Через 2 1/2 години спільної роботи басейн наповнився. Визначити місткість басейну, якщо через другу трубу вливалося 200 ведер води за годину. 549.
1) З Ленінграда до Москви вийшов кур'єрський поїзд, який проходить 1 км за 3/4 хв. Через 1/2 години після виходу цього поїзда з Москви до Ленінграда вийшов швидкий поїзд, швидкість якого дорівнювала 3/4 швидкості кур'єрського. На якій відстані будуть поїзди один від одного через 2 1/2 години після виходу кур'єрського поїзда, якщо відстань між Москвою та Ленінградом 650 км? 2) Від колгоспу до міста 24 км. З колгоспу виїхала вантажна машина, яка проходить 1 км за 2 1/2 хв. Через 15 хв. після виїзду цієї машини з міста до колгоспу виїхав велосипедист, зі швидкістю вдвічі меншою, ніж швидкість вантажної машини. Через скільки часу після свого виїзду велосипедист зустрінеться із вантажною машиною? 550.
1) З одного селища вийшов пішохід. Через 4 1/2 години після виходу пішохода за тим самим напрямком виїхав велосипедист, швидкість якого у 2 1/2 рази більша за швидкість пішохода. Через скільки годин після виходу пішохода його наздожене велосипедист? 2) Швидкий поїзд проходить 187 1/2 км за 3 години, а товарний поїзд 288 км за 6 год. Через 7 1/4 години після виходу товарного поїзда в тому ж напрямку відправляється швидкий. Через скільки часу швидкий поїзд наздожене товарний? 551.
1) З двох колгоспів, через які проходить дорога до районного центру, виїхали одночасно до району на конях два колгоспники. Перший з них проїжджав за годину по 8 3/4 км, а другий в 1 1/7 разу більше за перший. Другий колгоспник наздогнав першого через 3 4/5 години. Визначити відстань між колгоспами. 2) Через 26 1/3 години після виходу поїзда Москва-Владивосток, середня швидкість якого 60 км на годину, вилетів за тим самим напрямком літак ТУ-104, зі швидкістю в 14 1/6 разу більшою за швидкість поїзда. Через скільки годин після свого вильоту літак наздожене поїзд? 552.
1) Відстань між містами річкою 264 км. Ця відстань пароплав пройшов за 18 год, витративши 1/12 цього часу на зупинки. Швидкість течії річки 1 1/2 км на годину. За скільки часу пройшов би пароплав без зупинок 87 км у стоячій воді? 2) Моторний човен пройшов 207 км за течією річки за 13 1/2 години, витративши 1/9 цього часу на зупинки. Швидкість течії річки 1 3/4 км на годину. Скільки кілометрів може пройти цей човен у стоячій воді за 2 1/2 години? 553.
Катер водосховище пройшов відстань в 52 км без зупинок за 3 години 15 хв. Далі, йдучи річкою проти течії, швидкість якого 1 3 / 4 км на годину, цей катер пройшов 28 1 / 2 км за 2 1 / 4 години, зробивши при цьому 3 рівні за часом зупинки. Скільки хвилин стояв катер на кожній зупинці? 554.
З Ленінграда до Кронштадта о 12 год. дня вийшов пароплав і пройшов всю відстань між цими містами за 1 1/2 години. Дорогою він зустрів інший пароплав, що вийшов з Кронштадта до Ленінграда о 12 годині 18 хв. і що йшов зі швидкістю в 1 1/4 рази більшою, ніж перший. О котрій годині відбулася зустріч обох пароплавів? 555.
Потяг мав пройти відстань 630 км за 14 год. Пройшовши 2/3 цієї відстані, його було затримано на 1 годину 10 хв. З якою швидкістю він має продовжувати шлях, щоб прийти до місця призначення без запізнення? 556.
О 4 годині 20 хв. ранку з Києва до Одеси вийшов товарний поїзд із середньою швидкістю 31 1/5 км на годину. Через деякий час назустріч йому з Одеси вийшов поштовий потяг, швидкість якого в 1 17/39 раза більша за швидкість товарного, і зустрілася з товарним поїздом через 6 1/2 години після свого виходу. О котрій годині вийшов з Одеси поштовий потяг, якщо відстань між Києвом та Одесою 663 км? 557*. Годинник показує опівдні. Через скільки часу годинна та хвилинна стрілки збігатимуться? 558.
1) Завод має три цехи. Число, робітників першого цеху становить 9/20 всіх робітників заводу, у другому цеху робітників у 1 1/2 рази менше, ніж у першому, а в третьому цеху на 300 робітників менше, ніж у другому. Скільки всього робітників на заводі? 2) У місті три середні школи. Число учнів першої школи становить 3/10 усіх учнів цих трьох шкіл; у другій школі учнів у 1 1/2 разу більше, ніж у першій, а у третій школі на 420 учнів менше, ніж у другій. Скільки всього учнів у трьох школах? 559.
1) Два комбайнери працювали на одній ділянці. Після того як один комбайнер забрав 9/16 усієї ділянки, а другий 3/8 тієї ж ділянки, виявилося, що перший комбайнер забрав на 97 1/2 га більше, ніж другий. У середньому з кожного гектара намолочували по 32 1/2 ц зерна. Скільки центнерів зерна намолотив кожен комбайнер? 2) Два брати купили фотоапарат. У одного було 5/8, а у другого 4/7 вартості фотоапарата, причому у першого було на 2 руб. 25 коп. більше, ніж у другого. Кожен сплатив половину вартості апарату. Скільки грошей лишилось у кожного? 560.
1) З міста А до міста Б, відстань між якими 215 км, вийшов легковий автомобіль зі швидкістю 50 км на годину. Одночасно з ним із міста Б до міста А вийшов вантажний автомобіль. Скільки кілометрів пройшов легковий автомобіль до зустрічі з вантажним, якщо швидкість руху вантажного за годину становила 18/25 швидкості легкового автомобіля? 2) Між містами А та Б 210 км. З міста А до міста Б вийшла легкова машина. Одночасно з нею із міста Б до міста А вийшла вантажна машина. Скільки кілометрів пройшла вантажна машина до зустрічі з легковою, якщо легкова машина йшла зі швидкістю 48 км на годину, а швидкість вантажної машини за годину становила 3/4 від швидкості легкової машини? 561.
Колгосп зібрав урожай пшениці та жита. Пшеницею було засіяно на 20 га більше, ніж житом. Загальний збір жита становив 5/6 всього збору пшениці при врожайності в 20 ц з 1 га як пшениці, так жита. 7/11 всього збору пшениці та жита колгосп продав державі, а решту хліба залишив для задоволення своїх потреб. Скільки потрібно було здійснити рейсів двотонним машинам для вивезення проданого державі хліба? 562.
На хлібозавод привезли житнє та пшеничне борошно. Вага пшеничного борошна склала 3/5 ваги житнього борошна, причому житнього борошна було привезено на 4 т більше, ніж пшеничного. Скільки пшеничного та скільки житнього хліба буде випечено хлібозаводом із цього борошна, якщо припік становить 2/5 всього борошна? 563.
Протягом трьох днів бригада робітників виконала 3/4 усієї роботи з ремонту шосе між двома колгоспами. У перший день було відремонтовано 2 2/5 км цього шосе, у другий день в 1 1/2 рази більше, ніж у перший, а в третій день 5/8 того, що було відремонтовано у перші два дні разом. Знайти довжину шосе між колгоспами. 564.
Заповнити вільні місця у таблиці, де S - площа прямокутника, а- основа прямокутника, a h-висота (ширина) прямокутника. 565.
1) Довжина прямокутної ділянки землі 120 м, а ширина ділянки – 2/5 її довжини. Знайти периметр та площу ділянки. 2) Ширина прямокутної ділянки 250 м, а довжина її в 1 1/2 рази більша за ширину. Знайти периметр та площу ділянки. 566.
1) Периметр прямокутника 6 1/2 дм, основа його на 1/4 дм більша за висоту. Знайти площу цього прямокутника. 2) Периметр прямокутника 18 см, висота його на 2 1/2 см менша за основу. Знайти площу прямокутника. 567.
Обчислити площі фігур, зображених малюнку 30, розбивши їх у прямокутники і знайшовши виміром розміри прямокутника. 568.
1) Скільки листів сухої штукатурки знадобиться для оббивки стелі кімнати, довжина якої 4 1/2 м, а ширина 4 м, якщо розміри аркуша штукатурки 2 м х l 1/2 м? 2) Скільки дощок довжиною 4 1/2 л і шириною 1/4 м потрібно для настилу підлоги, довжина якого 4 1/2 м, а ширина 3 1/2 м? 569.
1) Ділянку прямокутної форми довжиною 560 м, а шириною 3/4 його довжини, засіяли квасолею. Скільки насіння знадобилося для засіву ділянки, якщо на 1 га висівали 1 ц? 2) З поля прямокутної форми зібрали врожай пшениці по 25 ц із 1 га. Скільки було зібрано пшениці з усього поля, якщо довжина поля 800 м, а ширина дорівнює 3/8 його довжини? 570
. 1) Прямокутна ділянка землі, що має в довжину 78 3/4 м і завширшки 56 4/5 м, забудована так, що 4/5 її площі зайнято будовами. Визначити площу землі під будовами. 2) На прямокутній ділянці землі, довжина якої 9/20 км, а ширина становить 4/9 його довжини, колгосп передбачає розбити сад. Скільки дерев буде посаджено у цьому саду, якщо під кожне дерево в середньому потрібно відвести площу 36 кв.м? 571.
1) Для нормального освітлення денним світлом кімнати необхідно, щоб площа всіх вікон була не менше ніж 1/5 частини площі підлоги. Визначити, чи достатньо світла в кімнаті, довжина якої 5 1/2 м та ширина 4 м. Кімната має одне вікно розміром 1 1/2 м х 2м? 2) Використовуючи умову попередньої задачі, з'ясуйте, чи достатньо світла у вашому класі. 572.
1) Сарай має розміри 5 1/2 м х 4 1/2 м х 2 1/2 м. Скільки сіна (за вагою) поміститься в цьому сараї, якщо його наповнити на 3/4 його висоти і якщо 1 куб. м сіна важить 82 кг? 2) Клін дров має форму прямокутного паралелепіпеда, розміри якого 2 1 / 2 м х 3 1 / 2 м х 1 1 / 2 м. Яка вага броні, якщо 1 куб. м дров важить 600 кг? 573.
1) Акваріум прямокутної форми наповнений водою до 3/5 висоти. Довжина акваріума 1 1/2 м, ширина 4/5 м, висота 3/4 м. Скільки літрів води налито в акваріум? 2) Басейн, що має форму прямокутного паралелепіпеда, має довжину 6 1/2 м, ширину 4м та висоту 2 м. Басейн наповнений водою до 3/4 його висоти. Обчислити кількість води, налитої у басейн. 574.
Навколо прямокутної ділянки землі, довжина якої 75 м і ширина 45 м, треба звести паркан. Скільки кубометрів дощок має піти на його пристрій, якщо товщина дошки 2 1/2 см, а висота паркану має бути 2 1/4 м? 575.
1) Який кут становить хвилинна та годинна стрілка о 13 год? о 15 год? о 17 год? о 21 годині? о 23 годині 30 хв.? 2) На скільки градусів повернеться годинникова стрілка за 2 години? 5:00? 8:00? 30 хв.? 3) Скільки градусів містить дуга, що дорівнює половині кола? 1/4 кола? 1/24 кола? 5/24 кола? 576.
1) Накресліть за допомогою транспортира: а) прямий кут; б) кут 30°; в) кут 60°; г) кут 150°; д) кут 55°. 2) Виміряйте за допомогою транспортира кути фігури та знайдіть суму всіх кутів кожної фігури (рис. 31). 577.
Виконати дії: 578.
1) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна на 100° більше за іншу. Знайти величину кожної дуги. 2) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна на 15° менша за іншу. Знайти величину кожної дуги. 3) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна вдвічі більша за іншу. Знайти величину кожної дуги. 4) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна в 5 разів менша за іншу. Знайти величину кожної дуги. 579.
1) На діаграмі «Грамотність населення СРСР» (рис. 32) зображено кількість грамотних, що припадають сто людей населення. За даними діаграми та її масштабу визначити кількість грамотних чоловіків та жінок для кожного із зазначених років. Результати записати до таблиці: 2) Використовуючи дані діаграми «Радянські посланці в Космос» (рис. 33), скласти завдання. 580.
1) За даними секторної діаграми "Режим дня для учня V класу" (рис. 34) заповнити таблицю і відповісти на запитання: яка частина доби відводиться на сон? на домашні заняття? на заняття у школі? 2) Побудувати секторну діаграму про режим свого дня.Позитивні та негативні дроби
Дії з дробами
Правила виконання дій із числовими дробами загального виду
Обґрунтування правил
Визначення 2 Приклади
Виконання дії з дробами, що містять змінні
Приклади складання та віднімання дробів із змінними
Додавання було виконано. Видно, що можна зробити скорочення дробу. Її чисельник може бути згорнутий за формулою квадрата суми, тоді отримаємо (l g x + 2) 2
із формул скороченого множення. Тоді отримуємо, що
l g 2 x + 4 + 2 · l g x x · (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x · (l g x + 2) = l g x + 2 x
x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) )Приклади множення дробів із змінними
Поділ
Зведення в ступінь
Порядок виконання дій із дробами
