OGE demoversioon. OGE (GIA) näidisversioonid matemaatikas – failiarhiiv
21. augustil 2017 avaldati FIPI ametlikul veebisaidil KIM ühtse riigieksami 2018 ülesehitust ja sisu reguleerivad dokumendid (ühtse riigieksami demoversioonid). FIPI kutsub ekspert- ja erialaringkondi osalema 2018. aasta eksamimaterjalide kavandite arutelul.
OGE 2018 venekeelsed demoversioonid koos vastuste ja hindamiskriteeriumitega
2018. aasta OGE KIM venekeelses versioonis 2017. aastaga võrreldes muudatusi ei ole.
Ülesandeid kokku – 15; neist ülesannete liigiti: lühivastusega – 13; üksikasjaliku vastusega – 2; raskusastme järgi: B – 14; IN 1.
Maksimaalne algskoor – 39
Töö tegemiseks kulub kokku 235 minutit.
KIM 2018 ülesehituse ja sisu tunnused
Iga CMM-i versioon koosneb kolmest osast ja sisaldab 15 ülesannet, mis erinevad vormi ja keerukuse taseme poolest.
1. osa – kokkuvõte (ülesanne 1).
2. osa (ülesanded 2–14) – lühikeste vastustega ülesanded. Eksamitöö pakub järgmist tüüpi lühivastusega ülesandeid:
– avatud tüüpi ülesanded isesõnastatud lühivastuse kirjutamiseks;
– ülesanded pakutud vastuste nimekirjast ühe õige vastuse valimiseks ja salvestamiseks.
3. osa (alternatiivülesanne 15) on avatud tüüpi üksikasjaliku vastusega (esseega) ülesanne, millega testitakse oskust luua loetud teksti põhjal oma väide.
Eksamitingimused
Filoloogispetsialiste vene keele eksamile klassiruumi ei lubata. Eksami korraldaja peab olema õpetaja, kes ei õpeta vene keelt ja kirjandust. Ühtsete juhendite kasutamine eksami läbiviimisel võimaldab tagada ühtsete tingimuste täitmise ilma antud aine eriharidusega isikuid eksami korraldamisse kaasamata.
Vene keele eksami OGE 2018 läbiviimise kord 9. klassis.
Pärast eksamimaterjalide paketi kättesaamist allkirjastavad eksaminandid kõik lehed või vormid, millel nad ülesandeid täidavad. Allkirjastatud lehed või blanketid volditakse eksaminandi töökohas nõutavas järjekorras kokku ja täidetakse eksami ajal.
Esmalt kuulavad eksamineeritavad originaalteksti. Teksti lugemise ajal on eksaminandidel lubatud teha oma mustandisse märkmeid. Pärast teksti teistkordset lugemist esitavad eksaminandid selle lühidalt kirjalikus vormis. Esitluse teksti taasesitamiseks kasutatakse helisalvestist.
Seejärel tutvustatakse õpilastele lugemisteksti, mis igaühele trükituna esitatakse. Eksamineeritavatel palutakse täita loetava teksti sisu ja keelelise analüüsiga seotud ülesandeid.
Kontrolltööde ajal on kõigi tööosade sooritamisel eksaminandidel õigus kasutada õigekirjasõnastikku.
Üksikasjaliku vastusega ülesannet kontrollivad vene keele spetsialistid, kes on läbinud riikliku lõpptunnistuse ülesannete kontrollimiseks eriväljaõppe.
Demoversioon on mõeldud selleks, et eksamil osaleja ja üldsus saaksid aimu tulevase eksamitöö ülesehitusest, ülesannete arvust ja vormist ning nende raskusastmest. See teave võimaldab välja töötada matemaatikaeksamiks valmistumise strateegia.
OGE 2018 demoversioon matemaatikas, 9. klass
| OGE 2018 matemaatika demoversioon | Ülesanded + vastused ja hindamiskriteeriumid |
| Spetsifikatsioon | lae alla |
| kodifitseerija | |
| Nõuete kodifitseerija | kodifitseerija |
| Matemaatika teatmematerjalid | lae alla |
CMM 2018 muudatused võrreldes 2017. aastaga
Võrreldes 2017. aasta struktuuriga jäi tööst välja “Reaalmatemaatika” moodul. Selle mooduli ülesanded on jaotatud Algebra ja Geomeetria moodulite vahel.
KIM OGE 2018 ülesehituse ja sisu tunnused matemaatikas
Töö koosneb kahest moodulist: “Algebra” ja “Geomeetria”. Igal moodulil on kaks osa, mis vastavad põhi- ja kõrgtaseme testimisele. Matemaatika põhipädevuse testimisel peavad õpilased demonstreerima põhialgoritmide valdamist, põhiliste sisuelementide (matemaatika mõisted, nende omadused, ülesannete lahendamise meetodid jne) tundmist ja mõistmist, matemaatika tähistuste kasutamise oskust ning teadmiste rakendamist matemaatika probleemide lahendamisel. ülesandeid, mis ei ole taandatavad otsesele rakendusalgoritmile, samuti rakendada matemaatilisi teadmisi kõige lihtsamates praktilistes olukordades.
Moodulite 2. osa “Algebra” ja “Geomeetria” on suunatud materjali valdamise testimisele kõrgtasemel. Nende eesmärk on eristada tublisid kooliõpilasi koolitustaseme järgi, selgitada välja lõpetajate enim ettevalmistatud osa, kes moodustavad potentsiaalse erialaklasside kontingendi. Need osad sisaldavad kõrgendatud keerukusega ülesandeid matemaatikakursuse erinevatest osadest. Kõik ülesanded nõuavad lahenduste ja vastuste salvestamist. Ülesanded on järjestatud raskusastme suurenemise järjekorras - suhteliselt lihtsast keerukani, eeldades materjali valdamist ja heal tasemel matemaatilist kultuuri.
Algebra moodul sisaldab 17 ülesannet: 1. osas - 14 ülesannet; 2. osas - 3 ülesannet.
Moodul "Geomeetria" sisaldab 9 ülesannet: 1. osas - 6 ülesannet; 2. osas - 3 ülesannet. Ülesandeid on kokku 26, millest 20 on algtaseme ülesanded, 4 kõrgtaseme ülesannet ja 2 kõrgtaseme ülesannet.
OGE 2018 kestus matemaatikas- 235 minutit.
Nõuete kodifitseerijaõpilaste ettevalmistuse tasemele matemaatika põhiriigieksamiks on üks kontrollmõõtematerjalide ülesehitust ja sisu määratlev dokument - KIM. Kodifitseerija on lõpetajate koolitustaseme nõuete ja testitud sisuelementide süstematiseeritud loetelu, milles iga objekt vastab kindlale koodile.
Sisu elementide kodifitseerija matemaatika peamiseks riigieksamiks on üks kontrollmõõtematerjalide struktuuri ja sisu määratlev dokument - CMM. Kodifitseerija on lõpetajate koolitustaseme nõuete ja testitud sisuelementide süstematiseeritud loetelu, milles iga objekt vastab kindlale koodile.
Spetsifikatsioon
kontrollmõõtematerjalid läbiviimiseks
aastal 2018 põhiline riigieksam
matemaatika
1. CMM OGE eesmärk- hinnata üldharidusorganisatsioonide üheksanda klassi lõpetajate matemaatikaalase üldharidusliku ettevalmistuse taset lõpetajate riiklikuks lõpptunnistuseks. Eksamitulemusi saab kasutada õpilaste vastuvõtmisel keskkoolide erialaklassidesse.
OGE viiakse läbi vastavalt Vene Föderatsiooni föderaalseadusele 29. detsembril 2012 nr 273-FZ "Haridus Vene Föderatsioonis".
2. CMM-i sisu määratlevad dokumendid
OGE eksamitöö sisu määratakse matemaatika üldhariduse riikliku standardi föderaalse komponendi alusel (Venemaa Haridusministeeriumi korraldus 03.05.2004 nr 1089 „Föderaalkooli heakskiitmine). alg-, üld-, põhi- ja kesk- (täieliku) üldhariduse riiklike haridusstandardite komponent).
Lisaks kajastas eksamitöö föderaalse riikliku põhiharidusstandardi kontseptuaalseid sätteid (Venemaa Haridus- ja Teadusministeeriumi korraldus 17. detsembrist 2010 nr 1897 „Föderaalse põhiharidusstandardi kinnitamise kohta). Üldharidus"). CMM-ide väljatöötamisel võetakse arvesse seisukohta, et üldhariduse põhiõppekava omandamise tulemuseks peaks olema lõpetajate matemaatiline pädevus, s.o. nad peavad: valdama matemaatikale omaseid teadmisi ja tegevusi; õppida transformeerima teadmisi ja nende rakendamist õppe- ja koolivälistes olukordades; kujundada matemaatilisele mõtlemisele omaseid omadusi, samuti omandada matemaatikaterminoloogiat, põhimõisteid, meetodeid ja tehnikaid.
3. Sisu valiku ja CMM-i struktuuri arendamise lähenemisviisid
KIM OGE ülesehitus vastab eesmärgile luua kaasaegses koolis diferentseeritud matemaatikaõppe süsteem. Hariduse diferentseerimine on suunatud kahe probleemi lahendamisele: matemaatika algõppe kujundamine kõigis õpilastes, mis moodustab üldhariduse funktsionaalse aluse, ja samaaegselt selliste tingimuste loomine, mis hõlbustavad mõnel õppuril omandada piisavat kõrgkoolitust. matemaatika aktiivne kasutamine täiendõppes, eriti selle õppimisel keskkoolis erialatasemel.
Tagamaks matemaatikakursuse põhimõistete valdamise, matemaatikateadmiste rakendamise ja praktikale suunatud ülesannete lahendamise oskuse testimise tulemuslikkust ning arvestades ka mõlema eraldiseisva õppetöö olemasolu põhikooli praktikas. matemaatikatsükli ainetest ja matemaatika integreeritud kursuse õpetamisest on eksamitöös eraldatud kaks moodulit: "Algebra ja geomeetria".
4. OGE eksamimudeli ühendamine ühtse riigieksami KIM-iga
Põhikooli- ja keskkoolikursuste riikliku lõputunnistuse sisulise ühtsuse tagavad ühtsed lähenemised sisuelementide kodifitseerijate väljatöötamisele ja matemaatika lõpetajate ettevalmistustasemele esitatavatele nõuetele. Mõlemad kodifitseerijad põhinevad osariigi üldharidusstandardi föderaalse komponendi jaotisel "Matemaatika".
5. CMM-i struktuuri ja sisu omadused
Töö koosneb kahest moodulist: “Algebra” ja “Geomeetria”. Igal moodulil on kaks osa, mis vastavad põhi- ja kõrgtaseme testimisele.
Matemaatika põhipädevuse testimisel peavad õpilased demonstreerima põhialgoritmide valdamist, põhiliste sisuelementide (matemaatika mõisted, nende omadused, ülesannete lahendamise meetodid jne) tundmist ja mõistmist, matemaatika tähistuste kasutamise oskust ning teadmiste rakendamist matemaatika probleemide lahendamisel. ülesandeid, mis ei ole taandatavad otsesele rakendusalgoritmile, samuti rakendada matemaatilisi teadmisi kõige lihtsamates praktilistes olukordades.
Moodulite 2. osa “Algebra” ja “Geomeetria” on suunatud materjali valdamise testimisele kõrgtasemel. Nende eesmärk on eristada tublisid kooliõpilasi koolitustaseme järgi, selgitada välja lõpetajate enim ettevalmistatud osa, kes moodustavad potentsiaalse erialaklasside kontingendi. Need osad sisaldavad kõrgendatud keerukusega ülesandeid matemaatikakursuse erinevatest osadest. Kõik ülesanded nõuavad lahenduste ja vastuste salvestamist. Ülesanded on järjestatud raskusastme suurenemise järjekorras - suhteliselt lihtsast keerukani, eeldades materjali valdamist ja heal tasemel matemaatilist kultuuri.
Algebra moodul sisaldab 17 ülesannet: 1. osas - 14 ülesannet; 2. osas - 3 ülesannet.
Moodul "Geomeetria" sisaldab 9 ülesannet: 1. osas - 6 ülesannet; 2. osas - 3 ülesannet.
Ülesandeid on kokku 26, millest 20 on algtaseme ülesanded, 4 kõrgtaseme ülesannet ja 2 kõrgtaseme ülesannet.
Põhiline üldharidus
Liin UMK A. G. Merzlyak. Algebra (7–9) (põhi)
Matemaatika
OGE-2020 demoversioon matemaatikas
OGE 2020 demoversioon, kodifitseerija ja spetsifikatsioon matemaatikas FIPI ametlikult veebisaidilt.Laadige alla OGE 2020 demoversioon koos kodifitseerija ja spetsifikatsioonidega allolevalt lingilt:
Suured muudatused uues demos
CMM sisaldab uut praktikale suunatud ülesannete plokki 1-5.
OGE ajakava matemaatikas 2020. aastal
Hetkel on teada, et haridusministeerium ja Rosobrnadzor on avalikuks aruteluks avaldanud OGE ajakavade kavandid. Matemaatika eksamite põhilaine eeldatavad kuupäevad: 9. juuni, varupäevad 24., 25., 30. juuni.
Peagi räägime eetris toimuvast ühtsest riigieksamist meie YouTube'i kanal.
9. klassi lõpetajatele pakutakse uut matemaatika riigieksamiks valmistumise juhendit. Kogumik sisaldab ülesandeid kõikidele põhiriigieksamil testitavatele osadele ja teemadele: “Arvud ja arvutused”, “Praktikale suunatud ülesanded”, “Võrrandid ja võrratused”, “Algebralised avaldised”, “Geomeetria”, “Jadad, funktsioonid ja graafikud "" Esitatakse erineva raskusastmega ülesandeid. Raamatu lõpus on vastused, mis aitavad teadmisi, oskusi ja võimeid jälgida ja hinnata. Käsiraamatus olevaid materjale saab kasutada õpitud materjali süstemaatiliseks kordamiseks ja koolituseks erinevate ülesannete täitmisel OGE ettevalmistamisel. Need aitavad õpetajal korraldada põhiriigieksamiks valmistumist ning õpilased panevad iseseisvalt proovile oma teadmised ja valmisoleku eksami sooritamiseks.
Eksamitöö (OGE) koosneb kahest moodulist: “Algebra” ja “Geomeetria”, mis koosneb kahest osast: algtase (1. osa), kõrgtase ja kõrgtase (2. osa). Ülesandeid on kokku 26, millest 20 on algtaseme ülesanded, 4 kõrgtaseme ülesannet ja 2 kõrgtaseme ülesannet. Algebra moodul sisaldab 17 ülesannet: 1. osas – 14 ülesannet; 2. osas - 3 ülesannet. Moodul “Geomeetria” sisaldab 9 ülesannet: 1. osas – 6 ülesannet; 2. osas - 3 ülesannet. Matemaatika eksamitöö täitmiseks on ette nähtud 3 tundi 55 minutit (235 minutit).
1. osa
1. harjutus
Leia väljendi tähendus
Lahendus
Vastus: 0,32.
Lahendus
Kuna aeg on 5,62 sekundit, siis tüdruku hinde "4" norm ei täidetud, kuid see aeg ei ületa 5,9 sekundit. – standard reitingule "3". Seetõttu on selle märk "3".
Vastus: 3.
Lahendus
Esimene arv on suurem kui 11, seega ei saa see olla arv A. Pange tähele, et punkt A asub lõigu teisel poolel, mis tähendab, et see on kindlasti suurem kui 5 (koordinaadi sirge mõõtkava tõttu). Seetõttu pole see number 3) ja mitte number 4). Märgime, et arv rahuldab ebavõrdsust:
Vastus: 2.
4. ülesanne
Leia väljendi tähendus
Lahendus
Aritmeetilise ruutjuure omaduse järgi 
(at a ≥ 0, b≥ 0), meil on:
Vastus: 165.
Lahendus
Esitatud küsimusele vastamiseks piisab, kui määrata horisontaal- ja vertikaaltelgede jagamise hind. Üks sälk piki horisontaaltelge on 0,5 km ja üks sälk piki vertikaaltelge on 20 mm. r.s. Seetõttu on rõhk 620 mm. r.s. jõuab 1,5 km kõrgusele.
Vastus: 1,5.
6. ülesanne
Lahenda võrrand x 2 + x – 12 = 0.
Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks suurem juur.
Lahendus
Kasutame ruutvõrrandi juurte valemit
Kus x 1 = –4, x 2 = 3.
Vastus: 3.
Ülesanne 7
Elektrirongiga sõitmise maksumus on 198 rubla. Koolinoored saavad 50% allahindlust. Mitu rubla maksab see 4 täiskasvanule ja 12 koolilapsele?
Lahendus
Õpilaspilet maksab 0,5 · 198 = 99 rubla. See tähendab, et 4 täiskasvanu ja 12 kooliõpilase sõit läheb maksma
4 198 + 12 99 = 792 + 1188 = 1980.
Vastus: 1980.
Lahendus
Väiteid 1) ja 2) võib pidada õigeks, kuna valkudele ja süsivesikutele vastavad alad moodustavad ligikaudu 36% ja 24% diagrammi koguosast. Samal ajal on diagrammist selgelt näha, et rasvad moodustavad kogu diagrammist vähem kui 16% ja seetõttu on väide 3) vale, nagu ka väide 4), kuna rasvad, valgud ja süsivesikud koos moodustavad suurema osa kogu diagrammist. diagramm.
Vastus: 12 või 21.
Ülesanne 9
Taldrikul on pirukad, mis näevad välja identsed: 4 lihaga, 8 kapsaga ja 3 õuntega. Petya valib juhuslikult ühe piruka. Leidke tõenäosus, et pirukas sisaldab õunu.
Lahendus
Sündmuse tõenäosus klassikalises definitsioonis on soodsate tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhe:
Sel juhul on kõigi võimalike tulemuste arv 4 + 8 + 3 = 15. Soodsate tulemuste arv on 3. Seega
Vastus: 0,2.
Loo vastavus funktsioonide graafikute ja neid defineerivate valemite vahel.
Lahendus
Esimene graafik vastab ilmselgelt paraboolile, mille üldvõrrand on:
y = kirves 2 + bx + c.
Seetõttu on see valem 1). Teine graafik vastab hüperboolile, mille üldvõrrand on:
Seetõttu on see valem 3). Alles jääb kolmas graafik, mis on otsese proportsionaalsuse graafik:
y = kx.
See on valem 2).
Vastus: 132.
Ülesanne 11
Numbrite jada esimene arv on 6 ja iga järgmine arv on eelmisest 4 võrra suurem. Leidke viieteistkümnes arv.
Lahendus
Ülesanne käsitleb aritmeetilist progressiooni esimese liikmega a 1 = 6 ja erinevus d= 4. Üldmõiste valem
a n = a 1 + d · ( n– 1) = 6 + 4 14 = 62.
Vastus: 62.
Lahendus
Selle asemel, et sellesse avaldisesse kohe numbreid lisada, lihtsustagem seda esmalt, kirjutades selle ratsionaalse murruna:
Vastus: 1,25.
Ülesanne 13
Celsiuse skaala temperatuuri Fahrenheiti skaalale teisendamiseks kasutage valemit t F = 1,8t C+ 32, kus t C- temperatuur Celsiuse kraadides, t F– temperatuur Fahrenheiti kraadides. Mitmele kraadile Fahrenheiti skaalal vastab -25 kraadi Celsiuse järgi?
Lahendus
Asendame valemis väärtuse –25
t F= 1,8 (–25) + 32 = –13
Vastus: –13.
Määrake võrratuste süsteemi lahendus
Lahendus
Lahendades selle ebavõrdsuse süsteemi, saame:
Järelikult on võrratuste süsteemi lahendus lõik [–4; –2,6], mis vastab joonisele 2).
Vastus: 2.
Lahendus
Joonisel kujutatud joonis on ristkülikukujuline trapets. Keskmine tugi pole midagi muud kui trapetsi keskmine joon, mille pikkus arvutatakse valemiga
Kus a, b– aluste pikkus. Teeme võrrandi:
b = 2,5.
Vastus: 2,5.
Võrdhaarses kolmnurgas ABC alusega AC välisnurk tipus C on 123°. Leia nurk SINA. Esitage oma vastus kraadides.
Lahendus
Kolmnurk ABC võrdhaarne, seega nurk SINA võrdne nurgaga BSA. Aga nurk BSA– külgneb 123° nurgaga. Seega
∠SINA = ∠BSA= 180° – 123° = 57°.
Vastus: 57°.
Leidke raadiusega 13 ringjoone kõõlu pikkus, kui kaugus ringjoone keskpunktist kõõluni on 5.
Lahendus
Kaaluge kolmnurka AOB(vt pilti).
See on võrdhaarne ( JSC = OB) Ja TEMA sellel on kõrgus (selle pikkus on vastavalt seisukorrale 5). Tähendab, TEMA– mediaan võrdhaarse kolmnurga omaduse järgi ja AN = NV. Me leiame AN täisnurksest kolmnurgast ANO Pythagorase teoreemi järgi:
Tähendab, AB = 2AN = 24.
Vastus: 24.
Leidke joonisel näidatud trapetsi pindala.
Lahendus
Trapetsi alumine alus on 21. Kasutame trapetsi pindala valemit
Vastus: 168.
Leidke joonisel kujutatud teravnurga puutuja.
Lahendus
Valige täisnurkne kolmnurk (vt pilti).
Tangens on vastaskülje ja külgneva külje suhe, siit leiame
Vastus: 2.
Millised järgmistest väidetest on tõesed?
1) Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saate tõmmata selle sirgega paralleelse joone.
2) Kolmnurk külgedega 1, 2, 4 on olemas.
3) Igal rööpkülikul on kaks võrdset nurka.
Lahendus
Esimene väide on paralleelsete sirgete aksioom. Teine väide on vale, kuna lõikude puhul pikkustega 1, 2, 4 kolmnurga ebavõrdsus ei kehti (suvalise kahe külje pikkuste summa on väiksem kui kolmanda külje pikkus)
1 + 2 = 3 > 4.
Kolmas väide on tõene – rööpkülikul on vastasnurgad võrdsed.
Vastus: 13 või 31.
2. osa
Lahenda võrrand x 4 = (4x – 5) 2 .
Lahendus
Kasutades ruutude erinevuse valemit, taandatakse algne võrrand järgmisele kujule:
(x 2 – 4x + 5)(x 2 + 4x – 5) = 0.
Võrrand x 2 – 4x+ 5 = 0 ei oma juuri ( D < 0). Уравнение
x 2 + 4x – 5 = 0
on juured −5 ja 1.
Vastus: −5; 1.
Hommikul kell 5 asus kalur mootorpaadiga muulilt vastu jõevoolu teele, heitis mõne aja pärast ankrusse, püüdis 2 tundi ja tuli tagasi kell 10 hommikul. sama päev. Kui kaugele ta muulist sõitis, kui jõe kiirus on 2 km/h ja paadi enda kiirus on 6 km/h?
Lahendus
Laske kaluril ujuda vahemaa, mis on võrdne s. Aeg, mis tal selle distantsi ujumiseks kulus, võrdub tundidega (kuna paadi kiirus vastuvoolu on 4 km/h). Aeg, mille ta tagasiteel veetis, võrdub tundidega (kuna paadi kiirus mööda voolu on 8 km/h). Koguaeg koos parkimisega on 5 tundi. Koostame ja lahendame võrrandi:
Vastus: 8 kilomeetrit.
Lahendus
Vaadeldava funktsiooni määratluspiirkond sisaldab kõiki reaalarve, välja arvatud arvud –2 ja 3.
Lihtsustame analüütilise seose vormi, võttes arvesse murdosa lugejat:
Seega on selle funktsiooni graafik parabool
y = x 2 + x – 6,
kahe "torgatud" punktiga, mille abstsissid on võrdsed –2 ja 3. Koostame selle graafiku. Parabooli tipu koordinaadid
(–0,5; –6,25).
Otse y = c on graafikuga täpselt üks ühine punkt, kas siis, kui see läbib parabooli tippu või siis, kui ta lõikub parabooliga kahes punktis, millest üks on punkteeritud. Läbitorkatud punktide koordinaadid
(-2; -4) ja (3; 6). Sellepärast c = –6,25, c= –4 või c = 6.
Vastus: c = –6,25; c = –4; c = 6.
Täisnurkses kolmnurgas ABC täisnurgaga KOOS tuntud jalad: AC = 6, Päike= 8. Leidke selle kolmnurga mediaan CK.
Lahendus
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdne poolega sellest. Sellepärast
Vastus: 5.
Rööpkülikuna ABCD punkt E- külje keskel AB. On teada, et EL =ED. Tõesta, et see rööpkülik on ristkülik.
Lahendus
Vaatleme kolmnurki EBC ja AED. Need on kolmest küljest võrdsed. Tõepoolest, A.E.= E.B., ED= E.C.(tingimuse järgi), AD= B.C.(rööpküliku vastasküljed). Seetõttu ∠ A = ∠B, kuid rööpküliku külgnevate nurkade summa on 180°, seega ∠ A= 90° ja ABCD- ristkülik.
Alus AC võrdhaarne kolmnurk ABC on võrdne 12. Ring raadiusega 8, mille keskpunkt on väljaspool seda kolmnurka, puudutab kolmnurga külgede pikendusi ja alust AC. Leidke kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius ABC.
Lahendus
Lase O on antud ringi keskpunkt ja K- kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt ABC .
Alates punktist KOHTA nurga külgedest võrdsel kaugusel ∠NVA, niivõrd kui see asub oma poolitajal. Samal ajal nurga poolitajale ∠NVA point peitub K ja samal ajal on see poolitaja võrdhaarse kolmnurga omaduste tõttu nii kolmnurga mediaan kui ka kõrgus merepinnast ABC. Nendest kaalutlustest on lihtne järeldada, et kõnealused ringid puutuvad kokku ühes punktis M, kontaktpunkt M ringid jagunevad A.C. pooleks ja OQ risti A.C..
Joonistame kiired AQ Ja A.O.. Seda on lihtne mõista AQ Ja A.O.- külgnevate nurkade poolitajad ja seega ka nurk OAQ otse. Täisnurksest kolmnurgast OAQ saame:
OLEN 2 = MQ · M.O..
Seega
